. Решите задачу. Моторная лодка вышла из пункта А в пункт В и, дви-гаясь против течения, потратила на путь до пункта В 4 ч, затем она повернула обратно и прибыла в пункт А ещё…

Давайте разберёмся с задачей по шагам.

Дано:

• Скорость лодки относительно воды: \( v_{лодки} = 14 \text{ км/ч} \)
• Время в пути против течения — 4 ч
• Время в пути по течению — 3 ч
• Нужно найти, сколько километров проплывет плот за 5 часов по реке.

---

Шаг 1. Обозначим переменные:

• \( v_{реки} \) — скорость течения реки (нужно найти)
• \( D \) — расстояние между пунктами А и В

---

Шаг 2. Запишем уравнения для пути

Категорически, при движении против течения (от А до В):

\[ \text{скорость лодки против течения} = v_{лодки} - v_{реки} = 14 - v_{реки} \]

Путь за 4 часа:

\[ D = (14 - v_{реки}) \times 4 \]

При движении по течению (от В к А):

\[ \text{скорость лодки по течению} = v_{лодки} + v_{реки} = 14 + v_{реки} \]

Путь за 3 часа:

\[ D = (14 + v_{реки}) \times 3 \]

---

Шаг 3. Сравним два выражения для \( D \):

\[ (14 - v_{реки}) \times 4 = (14 + v_{реки}) \times 3 \]

Раскроем скобки:

\[ 56 - 4 v_{реки} = 42 + 3 v_{реки} \]

Перенесем все члени с переменной \( v_{реки} \) в одну сторону, постоянные — в другую:

\[ 56 - 42 = 3 v_{реки} + 4 v_{реки} \]

\[ 14 = 7 v_{реки} \]

Найдём \( v_{реки} \):

\[ v_{реки} = \frac{14}{7} = 2 \text{ км/ч} \]

---

Шаг 4. Найдём расстояние \( D \):

Воспользуемся данными для любого из двух путей, допустим, против течения:

\[ D = (14 - 2) \times 4 = 12 \times 4 = 48 \text{ км} \]

Проверим:

\[ (14 + 2) \times 3 = 16 \times 3 = 48 \text{ км} \]

Это совпадает, значит решение верное.

---

Ответ:

Расстояние между пунктами А и В — 48 км.

---

Шаг 5. Рассчитаем, сколько проплывёт плот за 5 часов по реке.

Плот движется только по реке, его скорость равна скорости течения, то есть 2 км/ч.

За 5 часов:

\[ \text{расстояние} = v_{реки} \times 5 = 2 \times 5 = 10 \text{ км} \]

---

Итог:

Плот проплывёт 10 км за 5 часов по реке.