Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Дано:
- Скорость лодки относительно воды: ( v_{лодки} = 14 \text{ км/ч} )
- Время в пути против течения — 4 ч
- Время в пути по течению — 3 ч
- Нужно найти, сколько километров проплывет плот за 5 часов по реке.
Шаг 1. Обозначим переменные:
- ( v_{реки} ) — скорость течения реки (нужно найти)
- ( D ) — расстояние между пунктами А и В
Шаг 2. Запишем уравнения для пути
Категорически, при движении против течения (от А до В):
[
\text{скорость лодки против течения} = v_{лодки} - v_{реки} = 14 - v_{реки}
]
Путь за 4 часа:
[
D = (14 - v_{реки}) \times 4
]
При движении по течению (от В к А):
[
\text{скорость лодки по течению} = v_{лодки} + v_{реки} = 14 + v_{реки}
]
Путь за 3 часа:
[
D = (14 + v_{реки}) \times 3
]
Шаг 3. Сравним два выражения для ( D ):
[
(14 - v_{реки}) \times 4 = (14 + v_{реки}) \times 3
]
Раскроем скобки:
[
56 - 4 v_{реки} = 42 + 3 v_{реки}
]
Перенесем все члени с переменной ( v_{реки} ) в одну сторону, постоянные — в другую:
[
56 - 42 = 3 v_{реки} + 4 v_{реки}
]
[
14 = 7 v_{реки}
]
Найдём ( v_{реки} ):
[
v_{реки} = \frac{14}{7} = 2 \text{ км/ч}
]
Шаг 4. Найдём расстояние ( D ):
Воспользуемся данными для любого из двух путей, допустим, против течения:
[
D = (14 - 2) \times 4 = 12 \times 4 = 48 \text{ км}
]
Проверим:
[
(14 + 2) \times 3 = 16 \times 3 = 48 \text{ км}
]
Это совпадает, значит решение верное.
Ответ:
Расстояние между пунктами А и В — 48 км.
Шаг 5. Рассчитаем, сколько проплывёт плот за 5 часов по реке.
Плот движется только по реке, его скорость равна скорости течения, то есть 2 км/ч.
За 5 часов:
[
\text{расстояние} = v_{реки} \times 5 = 2 \times 5 = 10 \text{ км}
]
Итог:
Плот проплывёт 10 км за 5 часов по реке.
