Давайте тщательно разберемся с задачей и найдем ответ пошагово.
Дано:
- Расстояние между пунктами А и Б: ( 330, \text{км} )
- Плот прошел: ( 108, \text{км} )
- Скорость течения реки: ( 4, \text{км/ч} )
- Судно отправилось из А в Б и обратно — весь путь туда и обратно.
Важно:
- За час до отправки судна, из А по течению реки отправился плот.
- Корабль прошел весь путь (туда и обратно), а плот — часть пути, именно ( 108, \text{км} ).
Шаг 1: Обозначения
- Скорость корабля в неподвижной воде: ( v ) (нужно найти)
- Скорость течения: ( u = 4, \text{км/ч} )
Шаг 2: Время пути корабля
- Время, за которое корабль идет из А в Б: ( t_1 = \frac{330}{v + u} ) (по течению)
- Время, за которое корабль идет обратно, — ( t_2 = \frac{330}{v - u} ) (против течения)
- Общее время корабля на весь рейс:
[
T_{корабля} = t_1 + t_2 = \frac{330}{v + 4} + \frac{330}{v - 4}
]
Шаг 3: Время пути плота
Плот отправился за час до корабля, то есть стартовал на 1 час раньше.
Плот прошел ( 108, \text{км} ).
Скорость плота: ( v_{плота} = u = 4, \text{км/ч} ) (по течению)
Время, за которое плот прошел 108 км:
[
t_{плот} = \frac{108}{4} = 27, \text{часов}
]
Шаг 4: Время пути плота и корабля
Плот начал свой путь за 1 час до корабля.
Значит, чтобы плот прошел 108 км, корабль двигался в течение ( T_{корабля} ), а плот — на 1 час раньше.
Следовательно, если обозначить время от момента, когда плот стартовал, до прихода его в пункт Б, как ( T_{плот} ) (общий), то:
[
T_{плот} = T_{корабля} + 1
]
Но мы знаем, что время, чтобы пройти 108 км по течению: 27 часов.
Итак:
[
T_{плот} = 27, \text{часов}
]
Следовательно:
[
T_{корабля} = T_{плот} - 1 = 27 - 1 = 26, \text{часов}
]
Шаг 5: Запишем уравнение для времени корабля
[
T_{корабля} = \frac{330}{v + 4} + \frac{330}{v - 4} = 26
]
Шаг 6: Решение уравнения
Обозначим:
[
\frac{330}{v + 4} + \frac{330}{v - 4} = 26
]
Объединим левую часть:
[
330 \left( \frac{1}{v + 4} + \frac{1}{v - 4} \right) = 26
]
Найдем сумму дробей:
[
\frac{1}{v + 4} + \frac{1}{v - 4} = \frac{(v - 4) + (v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = \frac{2v}{v^2 - 16}
]
Тогда уравнение принимает вид:
[
330 \times \frac{2v}{v^2 - 16} = 26
]
Поделим обе части на 2:
[
165 \times \frac{v}{v^2 - 16} = 13
]
Или:
[
165 v = 13 (v^2 - 16)
]
Раскроем скобки:
[
165 v = 13 v^2 - 208
]
Перенесем все в левую сторону:
[
13 v^2 - 165 v - 208 = 0
]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Обозначим:
[
13 v^2 - 165 v - 208 = 0
]
Решим через дискриминант:
[
D = (-165)^2 - 4 \times 13 \times (-208)
]
Вычислим:
[
D = 27225 + 4 \times 13 \times 208
]
[
4 \times 13 = 52
]
[
52 \times 208 = 52 \times (200 + 8) = 52 \times 200 + 52 \times 8 = 10400 + 416 = 10816
]
Теперь:
[
D = 27225 + 10816 = 38041
]
Квадратный корень:
[
\sqrt{D} = \sqrt{38041} \approx 195
]
(ближайшее к точному значению)
Теперь решим уравнение:
[
v = \frac{165 \pm \sqrt{D}}{2 \times 13} = \frac{165 \pm 195}{26}
]
Рассматриваем два варианта:
- (\displaystyle v = \frac{165 + 195}{26} = \frac{360}{26} \approx 13.85, \text{км/ч})
- (\displaystyle v = \frac{165 - 195}{26} = \frac{-30}{26} \approx -1.15, \text{км/ч})
Отрицательную скорость отклоняем, так как она невозможна в данной ситуации.
Ответ:
Скорость корабля в неподвижной воде — approximately (\boxed{13.85, \text{км/ч}}).
