Треугольник
Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- Треугольник \( ABC \) прямоугольный.
- Угол \( \angle A = 60^\circ \).
- Сторона \( AB = 3 \) дм.
- Нужно найти стороны \( AC \), \( BC \) и радиус описанной вокруг него окружности \( R \).
Шаг 1. Определим известные и неизвестные стороны.
В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с углом \( A = 60^\circ \):
- Угол \( A = 60^\circ \),
- Угол \( B = 90^\circ \),
- Угол \( C = 30^\circ \).
Зная сторону \( AB \), которая, судя по условию, является катетом, посмотрим, какая это сторона.
Шаг 2. Выясним, какие стороны соответствуют сторонам по углам.
Рассмотрим треугольник: в прямоугольном треугольнике:
- Катеты: стороны, лежащие напротив острых углов,
- Гипотенуза: сторона напротив прямого угла.
Углы: \( A = 60^\circ \), \( B= 90^\circ \), \( C=30^\circ \).
- Сторона \( AB \), которая задается равной 3 дм, скорее всего, катет, противоположный углу \( C = 30^\circ \).
Итак, из закона синусов и свойств треугольника:
Шаг 3. Найдём остальные стороны.
В прямоугольном треугольнике со углами 30°, 60°, 90°:
- Катет, противоположный углу 30°, равен половине гипотенузы.
- Катет, противоположный углу 60°, равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы.
Пусть гипотенуза — это \( AC \), а катет, противоположный углу 30°, — \( AB = 3 \) дм.
Тогда:
\[ AB = \frac{1}{2} \times AC \]
Отсюда:
\[ AC = 2 \times AB = 2 \times 3 = 6 \text{ дм} \]
Теперь, чтобы найти сторону \( BC \) (катет, противолежащий углу \( 60^\circ \)): \[ BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ дм} \]
Шаг 4. Найдём радиус описанной окружности \( R \).
Радиус описанной окружности треугольника со стороной \( a, b, c \) и углами — формулы:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где \( S \) — площадь треугольника.
Площадь для прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \]
Подставим:
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ дм}^2 \]
Теперь радиус:
\[ R = \frac{AB \times BC \times AC}{4S} \]
Подставим:
\[ R = \frac{3 \times 3\sqrt{3} \times 6}{4 \times \frac{9\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \times 3\sqrt{3} \times 6}{2 \times 9\sqrt{3}} \]
Упростим:
\[ R = \frac{3 \times 3\sqrt{3} \times 6}{2 \times 9\sqrt{3}} = \frac{3 \times 3 \times 6 \times \sqrt{3}}{2 \times 9 \times \sqrt{3}} \]
Сократим:
- \( \sqrt{3} \) в числителе и знаменателе отменяется.
- \( 3 \times 6 = 18 \), а в знаменателе \( 2 \times 9=18 \).
Получается:
\[ R = \frac{18}{18} = 1 \text{ дм} \]
Итог:
\[ \boxed{ \begin{aligned} & AC = 6 \text{ дм} \\ & BC = 3 \sqrt{3} \text{ дм} \\ & R = 1 \text{ дм} \\ \end{aligned} } \]
Это ответ на задачу: стороны \( AC \), \( BC \) и радиус описанной окружности \( R \).
