Треугольник

Давайте подробно решим задачу по шагам. **Дано:** - Треугольник \( ABC \) прямоугольный. - Угол \( \angle A = 60^\circ \). - Сторона \( AB = 3 \) дм. - Нужно найти стороны \( AC \), \( BC \) и радиус описанной вокруг него окружности \( R \). --- ### Шаг 1. Определим известные и неизвестные стороны. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с углом \( A = 60^\circ \): - Угол \( A = 60^\circ \), - Угол \( B = 90^\circ \), - Угол \( C = 30^\circ \). Зная сторону \( AB \), которая, судя по условию, является катетом, посмотрим, какая это сторона. ### Шаг 2. Выясним, какие стороны соответствуют сторонам по углам. Рассмотрим треугольник: в прямоугольном треугольнике: - Катеты: стороны, лежащие напротив острых углов, - Гипотенуза: сторона напротив прямого угла. Углы: \( A = 60^\circ \), \( B= 90^\circ \), \( C=30^\circ \). - Сторона \( AB \), которая задается равной 3 дм, скорее всего, катет, противоположный углу \( C = 30^\circ \). Итак, из закона синусов и свойств треугольника: ### Шаг 3. Найдём остальные стороны. В прямоугольном треугольнике со углами 30°, 60°, 90°: - Катет, противоположный углу 30°, равен половине гипотенузы. - Катет, противоположный углу 60°, равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы. Пусть гипотенуза — это \( AC \), а катет, противоположный углу 30°, — \( AB = 3 \) дм. Тогда: \[ AB = \frac{1}{2} \times AC \] Отсюда: \[ AC = 2 \times AB = 2 \times 3 = 6 \text{ дм} \] Теперь, чтобы найти сторону \( BC \) (катет, противолежащий углу \( 60^\circ \)): \[ BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ дм} \] ### Шаг 4. Найдём радиус описанной окружности \( R \). Радиус описанной окружности треугольника со стороной \( a, b, c \) и углами — формулы: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( S \) — площадь треугольника. Площадь для прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \] Подставим: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ дм}^2 \] Теперь радиус: \[ R = \frac{AB \times BC \times AC}{4S} \] Подставим: \[ R = \frac{3 \times 3\sqrt{3} \times 6}{4 \times \frac{9\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \times 3\sqrt{3} \times 6}{2 \times 9\sqrt{3}} \] Упростим: \[ R = \frac{3 \times 3\sqrt{3} \times 6}{2 \times 9\sqrt{3}} = \frac{3 \times 3 \times 6 \times \sqrt{3}}{2 \times 9 \times \sqrt{3}} \] Сократим: - \( \sqrt{3} \) в числителе и знаменателе отменяется. - \( 3 \times 6 = 18 \), а в знаменателе \( 2 \times 9=18 \). Получается: \[ R = \frac{18}{18} = 1 \text{ дм} \] --- ### **Итог:** \[ \boxed{ \begin{aligned} & AC = 6 \text{ дм} \\ & BC = 3 \sqrt{3} \text{ дм} \\ & R = 1 \text{ дм} \\ \end{aligned} } \] Это ответ на задачу: стороны \( AC \), \( BC \) и радиус описанной окружности \( R \).