Постройте график функции у=|x|x-|x|-2x. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Давайте подробно разберем задачу и построим график функции у=|x|·x - |x| - 2x, а затем найдем условия, при которых прямая у=т имеет ровно две общие точки с графиком функции. --- ### Шаг 1. Упростим функцию у=|x|·x - |x| - 2x Обратите внимание, что функция содержит абсолютное значение |x|. В зависимости от знака x, выражение для функции будет разным. **Разделим случай 1: x ≥ 0** Тогда |x|=x и функция примет вид: \[ у = x \cdot x - x - 2x = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x \] **Разделим случай 2: x < 0** Тогда |x|=-x, и функция будет: \[ у = (-x) \cdot x - (-x) - 2x = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x \] Итак, функция у задается двумя частями: \[ у = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \ge 0 \\ - x^2 - x, & x < 0 \end{cases} \] --- ### Шаг 2. Построение графика функции Это кусочно-линейная функция, составленная из: - для \( x \ge 0 \): парабола \( u = x^2 - 3x \) - для \( x < 0 \): парабола \( u = - x^2 - x \) Рассмотрим каждую часть отдельно. --- ### Шаг 3. Свойства и графики частей функции #### **А) для \( x \ge 0 \):** \[ u = x^2 - 3x \] Это парабола, ветви вверх (коэффициент перед \( x^2 \) положительный). **Найдем вершину:** \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \] **Значение в вершине:** \[ u(1.5) = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25 \] **Корни:** \[ x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=3 \] На интервале \( x \ge 0 \) график идет от точки (0,0) и внутри \( 0 \le x \le 3 \) принимает отрицательные значения, потом идет вверх. --- #### **Б) для \( x < 0 \):** \[ u = -x^2 - x \] Это тоже парабола, ветви вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). **Вершина:** \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \] Но это не подходит, т.к. для этой части \( x<0 \), значит вершина будет в точке: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{-2} = 0.5 \] Но \( 0.5 > 0 \), а нам нужно для \( x<0 \). Поэтому вершина — та точка, в которой производная равна нулю, и она может находиться за пределами области определения для этой части. Итак, найдем вершину, применяя формулу, для функции: \[ u = -x^2 - x \] Производная: \[ u' = -2x - 1 \] Приравниваем к нулю: \[ -2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Это подходит, поскольку \( -\frac{1}{2} < 0 \), то вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{1}{2} \). --- ### Шаг 4. Значение функции в точке вершины: \[ u(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] #### Итог: - для \( x \ge 0 \), график — парабола \( x^2 - 3x \), вершина в \( (1.5, -2.25) \). - для \( x < 0 \), график — парабола \( -x^2 - x \), вершина в \( (-0.5, 0.25) \). --- ### Шаг 5. Построение графика и ответ на вопрос о ровно двух точках пересечения с линией у=τ Рассмотрим линию: \[ у = \tau \] Нам нужно найти значения \( \tau \), при которых линия \( у=\tau \) пересекает график функции ровно в двух точках. --- ### Шаг 6. Решение уравнений пересечения Для каждого участка: - при \( x \ge 0 \): \[ x^2 - 3x = \tau \] или \[ x^2 - 3x - \tau = 0 \] - при \( x < 0 \): \[ - x^2 - x = \tau \] или \[ - x^2 - x - \tau=0 \] Рассмотрим каждое уравнение и его корни. --- ### Шаг 7. Анализ корней уравнений #### Уравнение 1: \( x^2 - 3x - \tau=0 \) Дискриминант: \[ D_1 = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-\tau) = 9 + 4\tau \] Корни: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{D_1}}{2} \] Для существования двух решений: \[ D_1 > 0 \Rightarrow 9 + 4 \tau > 0 \Rightarrow \tau > -\frac{9}{4} \] Область определения: - корень \( x = \frac{3 + \sqrt{D_1}}{2} \), при \( \tau > -\frac{9}{4} \), будет положительным (так как числитель — сумма положительного и \(\sqrt{D_1}\)), и он больше нуля. - корень \( x = \frac{3 - \sqrt{D_1}}{2} \), при \( \tau > -\frac{9}{4} \), может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значений. Проверим, входит ли первая корень в область \( x \ge 0 \): при \( \tau \to \infty \), эта корень растет. Что важно — линейка \(\tau\) должна давать ровно две точки пересечения с графиком. Это происходит, когда: - у линии у=τ есть exactly два корня — то есть два пересечения — при отражении по области определения \(x \ge 0\). --- #### Уравнение 2: \( - x^2 - x = \tau \) Перепишем: \[ - x^2 - x - \tau=0 \] Дискриминант: \[ D_2 = 1 - 4(-1)(-\tau) = 1 - 4 \tau \] Корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D_2}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\tau}}{-2} \] Для существования решений: \[ D_2 \ge 0 \Rightarrow 1 - 4 \tau \ge 0 \Rightarrow \tau \le \frac{1}{4} \] Область определения этой части — \( x<0 \), и эти корни должны быть отрицательными, чтобы валидно рассматривать пересечения для \( x < 0 \). --- ### Шаг 8. Итоговые условия для ровно двух пересечений - чтобы было ровно 2 решения уравнений (после ограничения по областям — \( x \ge 0 \) и \( x<0 \)), необходимо, чтобы: 1. Один из уравнений имел ровно одно решение (касание линией), а другое — два, или 2. у каждого было по одному решению, и они не совпадали с границами области, что даст 2 точки пересечения. Обратим внимание: - при \( \tau \to -\infty \), уравнение \( x^2 - 3x - \tau=0 \) имеет два корня. - при \( \tau = -\frac{9}{4} \), граница для дискриминанта, уравнение имеет один повторный корень. Аналогично для уравнения \( - x^2 - x = \tau \): - при \( \tau \to -\infty \), уравнение имеет два решения. - при \( \tau = \frac{1}{4} \), решается одно решение (касание). --- ### **Общий ответ:** - Линия \( у = \tau \) пересекает график **ровно в двух точках**, если и только если: \[ -\frac{9}{4} < \tau < \frac{1}{4} \] - В этой области уравнения имеют по одному решению в каждом куске, и эти решения лежат в соответствующих областях. --- ### **Итог:** **График функции у=|x|·x - |x| - 2x — это график двух парабол, соединенных в точке \( x=0 \).** **Линия у=τ пересекает график ровно в двух точках, если \( -\frac{9}{4} < \tau < \frac{1}{4} \).** --- Если понадобятся дополнительные пояснения или графики — обращайтесь!