Постройте график функции у=|x|x-|x|-2x. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.
Давайте подробно разберем задачу и построим график функции у=|x|·x - |x| - 2x, а затем найдем условия, при которых прямая у=т имеет ровно две общие точки с графиком функции.
Шаг 1. Упростим функцию у=|x|·x - |x| - 2x
Обратите внимание, что функция содержит абсолютное значение |x|. В зависимости от знака x, выражение для функции будет разным.
Разделим случай 1: x ≥ 0
Тогда |x|=x и функция примет вид:
\[ у = x \cdot x - x - 2x = x^2 - x - 2x = x^2 - 3x \]
Разделим случай 2: x < 0
Тогда |x|=-x, и функция будет:
\[ у = (-x) \cdot x - (-x) - 2x = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x \]
Итак, функция у задается двумя частями: \[ у = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \ge 0 \\ - x^2 - x, & x < 0 \end{cases} \]
Шаг 2. Построение графика функции
Это кусочно-линейная функция, составленная из:
- для \( x \ge 0 \): парабола \( u = x^2 - 3x \)
- для \( x < 0 \): парабола \( u = - x^2 - x \)
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Шаг 3. Свойства и графики частей функции
А) для \( x \ge 0 \):
\[ u = x^2 - 3x \] Это парабола, ветви вверх (коэффициент перед \( x^2 \) положительный).
Найдем вершину:
\[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Значение в вершине:
\[ u(1.5) = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25 \]
Корни:
\[ x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=3 \]
На интервале \( x \ge 0 \) график идет от точки (0,0) и внутри \( 0 \le x \le 3 \) принимает отрицательные значения, потом идет вверх.
Б) для \( x < 0 \):
\[ u = -x^2 - x \]
Это тоже парабола, ветви вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).
Вершина:
\[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]
Но это не подходит, т.к. для этой части \( x<0 \), значит вершина будет в точке:
\[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{-2} = 0.5 \]
Но \( 0.5 > 0 \), а нам нужно для \( x<0 \). Поэтому вершина — та точка, в которой производная равна нулю, и она может находиться за пределами области определения для этой части.
Итак, найдем вершину, применяя формулу, для функции:
\[ u = -x^2 - x \]
Производная:
\[ u' = -2x - 1 \]
Приравниваем к нулю:
\[ -2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \]
Это подходит, поскольку \( -\frac{1}{2} < 0 \), то вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{1}{2} \).
Шаг 4. Значение функции в точке вершины:
\[ u(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Итог:
- для \( x \ge 0 \), график — парабола \( x^2 - 3x \), вершина в \( (1.5, -2.25) \).
- для \( x < 0 \), график — парабола \( -x^2 - x \), вершина в \( (-0.5, 0.25) \).
Шаг 5. Построение графика и ответ на вопрос о ровно двух точках пересечения с линией у=τ
Рассмотрим линию:
\[ у = \tau \]
Нам нужно найти значения \( \tau \), при которых линия \( у=\tau \) пересекает график функции ровно в двух точках.
Шаг 6. Решение уравнений пересечения
Для каждого участка:
- при \( x \ge 0 \):
\[ x^2 - 3x = \tau \]
или
\[ x^2 - 3x - \tau = 0 \]
- при \( x < 0 \):
\[ - x^2 - x = \tau \]
или
\[ - x^2 - x - \tau=0 \]
Рассмотрим каждое уравнение и его корни.
Шаг 7. Анализ корней уравнений
Уравнение 1: \( x^2 - 3x - \tau=0 \)
Дискриминант:
\[ D_1 = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-\tau) = 9 + 4\tau \]
Корни:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{D_1}}{2} \]
Для существования двух решений:
\[ D_1 > 0 \Rightarrow 9 + 4 \tau > 0 \Rightarrow \tau > -\frac{9}{4} \]
Область определения:
корень \( x = \frac{3 + \sqrt{D_1}}{2} \), при \( \tau > -\frac{9}{4} \), будет положительным (так как числитель — сумма положительного и \(\sqrt{D_1}\)), и он больше нуля.
корень \( x = \frac{3 - \sqrt{D_1}}{2} \), при \( \tau > -\frac{9}{4} \), может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значений.
Проверим, входит ли первая корень в область \( x \ge 0 \): при \( \tau \to \infty \), эта корень растет.
Что важно — линейка \(\tau\) должна давать ровно две точки пересечения с графиком. Это происходит, когда:
- у линии у=τ есть exactly два корня — то есть два пересечения — при отражении по области определения \(x \ge 0\).
Уравнение 2: \( - x^2 - x = \tau \)
Перепишем:
\[ - x^2 - x - \tau=0 \]
Дискриминант:
\[ D_2 = 1 - 4(-1)(-\tau) = 1 - 4 \tau \]
Корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D_2}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\tau}}{-2} \]
Для существования решений:
\[ D_2 \ge 0 \Rightarrow 1 - 4 \tau \ge 0 \Rightarrow \tau \le \frac{1}{4} \]
Область определения этой части — \( x<0 \), и эти корни должны быть отрицательными, чтобы валидно рассматривать пересечения для \( x < 0 \).
Шаг 8. Итоговые условия для ровно двух пересечений
- чтобы было ровно 2 решения уравнений (после ограничения по областям — \( x \ge 0 \) и \( x<0 \)), необходимо, чтобы:
- Один из уравнений имел ровно одно решение (касание линией), а другое — два, или
- у каждого было по одному решению, и они не совпадали с границами области, что даст 2 точки пересечения.
Обратим внимание:
- при \( \tau \to -\infty \), уравнение \( x^2 - 3x - \tau=0 \) имеет два корня.
- при \( \tau = -\frac{9}{4} \), граница для дискриминанта, уравнение имеет один повторный корень.
Аналогично для уравнения \( - x^2 - x = \tau \):
- при \( \tau \to -\infty \), уравнение имеет два решения.
- при \( \tau = \frac{1}{4} \), решается одно решение (касание).
Общий ответ:
- Линия \( у = \tau \) пересекает график ровно в двух точках, если и только если:
\[ -\frac{9}{4} < \tau < \frac{1}{4} \]
- В этой области уравнения имеют по одному решению в каждом куске, и эти решения лежат в соответствующих областях.
Итог:
График функции у=|x|·x - |x| - 2x — это график двух парабол, соединенных в точке \( x=0 \).
Линия у=τ пересекает график ровно в двух точках, если \( -\frac{9}{4} < \tau < \frac{1}{4} \).
Если понадобятся дополнительные пояснения или графики — обращайтесь!
