В группе 20 студентов, среди них 14 юношей. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6-ти студентов будут 3 девушки и 3 юноши.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие. **Дано:** - Общее количество студентов: \( 20 \) - Количество юношей: \( 14 \) - Остальные — девушки: \( 20 - 14 = 6 \) - Выбирается 6 студентов наугад - Нужно найти вероятность, что среди выбранных будут ровно 3 девушки и 3 юноши --- ### Шаг 1: определим общее число способов выбрать 6 студентов из 20 Общее число способов выбрать любой набор из 6 студентов без ограничений — это число сочетаний: \[ C_{20}^{6} = \frac{20!}{6! \times (20-6)!} \] Это — общее количество возможных исходов. --- ### Шаг 2: посчитаем количество благоприятных исходов Благоприятный исход — это выбор exactly 3 девушек и 3 юношей. - Количество способов выбрать 3 девушек из 6: \( C_6^3 \) - Количество способов выбрать 3 юношей из 14: \( C_{14}^3 \) Общее количество способов выбрать именно такой набор: \[ C_6^3 \times C_{14}^3 \] --- ### Шаг 3: вычислим конкретные значения сочетаний \[ C_6^3 = \frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = 20 \] \[ C_{14}^3 = \frac{14!}{3! \times 11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2184}{6} = 364 \] Общее число благоприятных исходов: \[ 20 \times 364 = 7280 \] --- ### Шаг 4: вычислим общее число способов выбрать 6 студентов из 20 \[ C_{20}^6 = \frac{20!}{6! \times 14!} \] Рассчитаем: \[ C_{20}^6 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] В числителе: \[ 20 \times 19 = 380 \] \[ 380 \times 18 = 6840 \] \[ 6840 \times 17 = 116280 \] \[ 116280 \times 16 = 1860480 \] \[ 1860480 \times 15 = 27907200 \] В знаменателе: \( 6! = 720 \) Тогда: \[ C_{20}^6 = \frac{27907200}{720} = 38760 \] --- ### Шаг 5: найдем вероятность Теперь вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов: \[ P = \frac{7280}{38760} \] Упростим дробь: \[ P = \frac{7280}{38760} \approx 0.1878 \] или в процентах: \[ \approx 18.78\% \] --- ## Итог: **Ответ:** вероятность того, что среди выбранных наугад 6 студентов окажутся ровно 3 девушки и 3 юноши, равна примерно **0.188** или **18.78%**.