В группе 20 студентов, среди них 14 юношей. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6-ти студентов будут 3 девушки и 3 юноши.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- Общее количество студентов: \( 20 \)
- Количество юношей: \( 14 \)
- Остальные — девушки: \( 20 - 14 = 6 \)
- Выбирается 6 студентов наугад
- Нужно найти вероятность, что среди выбранных будут ровно 3 девушки и 3 юноши
Шаг 1: определим общее число способов выбрать 6 студентов из 20
Общее число способов выбрать любой набор из 6 студентов без ограничений — это число сочетаний:
\[ C_{20}^{6} = \frac{20!}{6! \times (20-6)!} \]
Это — общее количество возможных исходов.
Шаг 2: посчитаем количество благоприятных исходов
Благоприятный исход — это выбор exactly 3 девушек и 3 юношей.
Количество способов выбрать 3 девушек из 6: \( C_6^3 \)
Количество способов выбрать 3 юношей из 14: \( C_{14}^3 \)
Общее количество способов выбрать именно такой набор:
\[ C_6^3 \times C_{14}^3 \]
Шаг 3: вычислим конкретные значения сочетаний
\[ C_6^3 = \frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = 20 \]
\[ C_{14}^3 = \frac{14!}{3! \times 11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2184}{6} = 364 \]
Общее число благоприятных исходов:
\[ 20 \times 364 = 7280 \]
Шаг 4: вычислим общее число способов выбрать 6 студентов из 20
\[ C_{20}^6 = \frac{20!}{6! \times 14!} \]
Рассчитаем:
\[ C_{20}^6 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
В числителе:
\[ 20 \times 19 = 380 \] \[ 380 \times 18 = 6840 \] \[ 6840 \times 17 = 116280 \] \[ 116280 \times 16 = 1860480 \] \[ 1860480 \times 15 = 27907200 \]
В знаменателе: \( 6! = 720 \)
Тогда:
\[ C_{20}^6 = \frac{27907200}{720} = 38760 \]
Шаг 5: найдем вероятность
Теперь вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:
\[ P = \frac{7280}{38760} \]
Упростим дробь:
\[ P = \frac{7280}{38760} \approx 0.1878 \]
или в процентах:
\[ \approx 18.78\% \]
Итог:
Ответ: вероятность того, что среди выбранных наугад 6 студентов окажутся ровно 3 девушки и 3 юноши, равна примерно 0.188 или 18.78%.
