7. Даны вершины четырехугольника А (1,2,3); В (7,3,2), С (-3,0,6), D (9,2,4). Найдите угол между диагоналями. 1. 75° 2. 90° 3. 55° 4. 60°

Для нахождения угла между диагоналями четырехугольника нужно сначала найти векторные выражения диагоналей и затем вычислить угол между ними.

Обозначим:

• Вершина A (1, 2, 3)
• Вершина B (7, 3, 2)
• Вершина C (-3, 0, 6)
• Вершина D (9, 2, 4)

Диагональ AC — это вектор: \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3 - 1, 0 - 2, 6 - 3) = (-4, -2, 3) \]

Диагональ BD — это вектор: \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (9 - 7, 2 - 3, 4 - 2) = (2, -1, 2) \]

Для нахождения угла \(\theta\) между векторами используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} \]

Считаем скалярное произведение: \[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-4) \times 2 + (-2) \times (-1) + 3 \times 2 = -8 + 2 + 6 = 0 \]

Находим длины векторов: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29} \] \[ |\vec{BD}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Так как скалярное произведение равно 0, тогда: \[ \cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ \]

Ответ: 90°.

Правильный ответ: 2. 90°