Для нахождения угла между диагоналями четырехугольника нужно сначала найти векторные выражения диагоналей и затем вычислить угол между ними.
Обозначим:
- Вершина A (1, 2, 3)
- Вершина B (7, 3, 2)
- Вершина C (-3, 0, 6)
- Вершина D (9, 2, 4)
Диагональ AC — это вектор:
[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3 - 1, 0 - 2, 6 - 3) = (-4, -2, 3)
]
Диагональ BD — это вектор:
[
\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (9 - 7, 2 - 3, 4 - 2) = (2, -1, 2)
]
Для нахождения угла (\theta) между векторами используем формулу:
[
\cos \theta = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}
]
Считаем скалярное произведение:
[
\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-4) \times 2 + (-2) \times (-1) + 3 \times 2 = -8 + 2 + 6 = 0
]
Находим длины векторов:
[
|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}
]
[
|\vec{BD}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
]
Так как скалярное произведение равно 0, тогда:
[
\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ
]
Ответ: 90°.
Правильный ответ: 2. 90°
