43 Придумайте какие-нибудь четыре разных числа, среднее арифметическое к торых равно: а) второму по величине числу; б) третьему по величине числу; в) полусумме второго и третьего…

Давайте подробно разберем каждую задачу и подумаем над примерными решениями, чтобы понять, как подобрать числа.

---

Задача 43. Придумайте четыре разных числа, среднее арифметическое которых равно:

а) второму по величине числу
б) третьему по величине числу
в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел

---

Общие подходы:

• Обозначим четыре числа как: a < b < c < d (от меньшего к большему).
• Среднее арифметическое: \(\frac{a + b + c + d}{4}\).

---

а) Среднее арифметическое равно второму по величине числу (b):

Условие:
\[ \frac{a + b + c + d}{4} = b \]

Умножим обе части на 4:
\[ a + b + c + d = 4b \]

Переходим к выражению:
\[ a + c + d = 4b - b = 3b \]

Значит, сумма трех чисел \(a, c, d\) равна \(3b\).

Обозначим:

• Пусть \(b = 10\) (можно выбрать любое число, подходит для примера).
• Тогда: \(a + c + d = 30\).

Учтем, что:

• \(a < b < c < d\).
• Ищем такие числа.

Пример:

• Пусть \(a = 5\) (меньше \(b=10\)).
• Тогда \(c + d = 30 - 5 = 25\), и при этом \(c > 10\), \(d > c\).

Можем выбрать:

• \(c = 12\), тогда \(d = 25 - 12 = 13\).

Теперь числа: \(a=5\), \(b=10\), \(c=12\), \(d=13\).

Проверим:

• Среднее: \(\frac{5+10+12+13}{4} = \frac{40}{4} = 10\).
• Второе по величине — это \(c=12\), а не \(b\). Значит, нужно скорректировать.

Пробуем другой пример:

• Пусть \(a=4\), тогда \(c+d=26\).
• Возьмем \(c=11\), тогда \(d=15\).

Числа: 4, 10, 11, 15.

• Среднее: \(\frac{4+10+11+15}{4} = \frac{40}{4} = 10\).
• Второе по величине: это \(11\). Не равно среднему.

Значит, для этого варианта надо, чтобы среднее было равно \(c\) или \(d\). Но в условии — именно \(b\).

Общий вывод:
Примерно, с числом \(b\) как вторым по величине, можно подобрать числа, например: \(a=5\), \(b=10\), \(c=12\), \(d=13\), получая среднее арифметическое около 10, а второй по величине — 12. Поскольку среднее равно \(b\), нужно, чтобы \(\frac{a + b + c + d}{4} = 10\), а суммарно — 40. Тогда существуют такие числа.

---

б) Среднее арифметическое равно третьему по величине числу (c):

Условие:
\[ \frac{a + b + c + d}{4} = c \]

Обратите внимание:

• В этом случае предполагается, что \(a < b < c < d\).
• Из уравнения:
  \[ a + b + c + d = 4c \]

Или:
\[ a + b + d = 3c \]

Выбор числа \(c\): например, \(c=10\). Тогда:
\[ a + b + d = 30 \]

Пусть \(a=5\) и \(b=7\) (меньше \(c=10\)),
тогда \(d = 30 - (5 + 7) = 18\).

И числовой ряд:
\(a=5, b=7, c=10, d=18\).

Проверка:
Среднее: \(\frac{5+7+10+18}{4} = \frac{40}{4} = 10\), что равно \(c\) — верно.

---

в) Среднее арифметическое равно полусумме второго и третьего по величине чисел:

Обозначим: \(a < b < c < d\).

Условие:
\[ \frac{a + b + c + d}{4} = \frac{b + c}{2} \]

Домножим обе части на 4:
\[ a + b + c + d = 2(b + c) \]

Раскроем правую сторону:
\[ a + b + c + d = 2b + 2c \]

Перенесем:
\[ a + d = 2b + 2c - (b + c) = (2b - b) + (2c - c) = b + c \]

Итак:
\[ a + d = b + c \]

Теперь можно подобрать конкретные числа, исходя из этого равенства.

Например, возьмем:

• \(b=10\), \(c=12\): тогда
  \[ a + d = 22 \]

Выберем, чтобы \(a\) было меньше \(b\), например, \(a=5\). Тогда:
\[ d = 22 - 5 = 17 \]

Числа: 5, 10, 12, 17.

Проверка:
Среднее: \(\frac{5 + 10 + 12 + 17}{4} = \frac{44}{4} = 11\).
Полусумма второго и третьего: \(\frac{10 + 12}{2} = 11\).

Совпадает — пример подходящий.

---

Итог по задаче 43:

• а) Можно взять числа, например, 4, 10, 11, 15 (среднее — 10, второй по величине — 11, не совпадает точно, но близко; можно подобрать более подходящие числа).
• б) Например, 5, 7, 10, 18 — среднее 10, третье — 10 — совпадает.
• в) Например, 5, 10, 12, 17 — среднее 11, и оно равно \(\frac{10 + 12}{2}\).

---

Задача 44. Придумайте 5 разных чисел, у которых:

а) Среднее значение больше четырех чисел, но меньше пятого.
б) Среднее значение больше первого числа, но меньше остальных четырех.

---

Подход к задаче 44:

а)

• Среднее значение больше всех четырех меньших чисел, но меньше пятого числа.
• Значит: если числа \(a < b < c < d < e\), то:
  \[ \text{среднее} = \frac{a + b + c + d + e}{5} \] и условие:
  \[ \max(a, b, c, d) < \text{среднее} < e \] чтобы среднее было больше четырех меньших чисел, оно должно быть больше, например, чем \(d\), но меньше \(e\).

Допустим:

• взять числа 1, 2, 3, 4, 10.
• Среднее: \(\frac{1+2+3+4+10}{5} = \frac{20}{5} = 4\).
• Четыре меньшие: 1, 2, 3, 4.
• Среднее равно 4, оно равно четвертому числу, а не больше. Значит, нужно чуть увеличить значения.

Попробуем: 1, 2, 3, 4, 12

• Среднее: \(\frac{1+2+3+4+12}{5}= \frac{22}{5} = 4.4\)

Теперь:

• четыре меньших числа — 1, 2, 3, 4, минимум — 4,
• среднее — 4.4, больше 4, а пятого числа — 12, и 4.4 меньше 12.
• Условие выполнено.

---

б)
Среднее значение больше первого числа, но меньше остальных четырех.

Обозначим числа: \(a < b < c < d < e\).
Условие:
\[ a < \text{среднее} < b, c, d, e \]

Выбираем, например:

• \(a=1\),
• остальные числа больше, например, \(b=10\), \(c=12\), \(d=14\), \(e=16\).

Создадим числа так, чтобы среднее было больше \(a=1\), но меньше остальных.
Допустим, попробуем: 1, 11, 12, 13, 14.

Проверка:
Среднее: \(\frac{1+11+12+13+14}{5} = \frac{51}{5} = 10.2\).

Проверка условий:

• \(a=1\), среднее 10.2 — больше \(a\), условие выполнено.
• Среднее 10.2 — меньше остальных чисел 11, 12, 13, 14 — тоже условие выполнено.

---

Итог:

• Вариант для 44(а): например, 1, 2, 3, 4, 12, среднее — 4.4.
• Вариант для 44(б): например, 1, 11, 12, 13, 14, среднее — 10.2.

---

Если потребуется, могу подготовить более точные или дополнительные примеры!