При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97. Найдите вероятность того, что…

Давайте разберем задачу подробно.

Условие:

• Диаметр подшипника = 72 мм
• Вероятность того, что диаметр отличается от заданного (72 мм) не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97.
• Нужно найти вероятность того, что выбранный подшипник имеет диаметр меньше 71,99 мм или больше 72,01 мм.

Шаг 1. Определение модели распределения

Поскольку речь идет о случайной величине — диаметре подшипника — и есть вероятность, что он находится в определенном диапазоне, предполагаем, что диаметр подшипника распределен нормально (распределение Гаусса). Это стандартная модель для таких задач.

Обозначим случайную величину как \( X \).

Дано: \[ P(|X - 72| \leq 0,01) = 0,97 \]

Это означает, что вероятность того, что диаметр в диапазоне от \( 72 - 0,01 \) до \( 72 + 0,01 \), равна 0,97.

Шаг 2. Восстановление параметров нормального распределения

Обозначим:

• Среднее \(\mu = 72\, мм\),
• Стандартное отклонение \(\sigma\).

Тогда: \[ P(|X - \mu| \leq 0,01) = P(\mu - 0,01 \leq X \leq \mu + 0,01). \]

По свойствам нормального распределения: \[ P(|X - \mu| \leq a) = 2\Phi \left(\frac{a}{\sigma}\right) - 1, \] где \(\Phi\) — функция распределения стандартного нормального распределения.

Следовательно, \[ 2\Phi \left(\frac{0,01}{\sigma}\right) - 1 = 0,97, \] или \[ \Phi \left(\frac{0,01}{\sigma}\right) = \frac{0,97 + 1}{2} = 0,985. \]

Из таблицы стандартного нормального распределения значение \(\Phi^{-1}(0,985)\) примерно равно 2,17 (около).

Тогда: \[ \frac{0,01}{\sigma} = 2,17. \] Отсюда: \[ \sigma = \frac{0,01}{2,17} \approx 0,0046\, \text{мм}. \]

Шаг 3. Рассмотрение искомой вероятности

Нужно найти: \[ P(X < 71,99\, \text{мм}) + P(X > 72,01\, \text{мм}), \] или сумму вероятностей, что диаметр меньше чем 71,99 мм и больше чем 72,01 мм.

Обратим внимание, что: \[ 71,99\, \text{мм} = 72\, \text{мм} - 0,01\, \text{мм}, \] \[ 72,01\, \text{мм} = 72\, \text{мм} + 0,01\, \text{мм}. \]

Это точно такие же расстояния от среднего, как и интервал, с которым мы работали ранее.

Теперь выразим вероятности через стандартную нормальную переменную \( Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \):

\[ P(X < 71,99) = P\left(Z < \frac{71,99 - 72}{\sigma}\right) = P\left(Z < -\frac{0,01}{\sigma}\right), \]

\[ P(X > 72,01) = P\left(Z > \frac{0,01}{\sigma}\right). \]

Из предыдущего вычисления: \[ \frac{0,01}{\sigma} \approx 2,17, \] так что: \[ P(Z < -2,17) \quad \text{и} \quad P(Z > 2,17). \]

Для стандартной нормальной распредёленной: \[ P(Z < -2,17) = P(Z > 2,17) \quad \text{(симметрия)}. \]

Из таблицы: \[ P(Z < 2,17) \approx 0,985, \quad \Rightarrow P(Z > 2,17) = 1 - 0,985 = 0,015. \]

Следовательно, \[ P(Z < -2,17) = 0,015, \] \[ P(Z > 2,17) = 0,015. \]

Общая вероятность: \[ P(X < 71,99) + P(X > 72,01) = 0,015 + 0,015 = 0,03. \]

Ответ:

Вероятность того, что диаметр подшипника будет меньше 71,99 мм или больше 72,01 мм, составляет approximately \(\boxed{0,03}\) или 3%.