. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный тре-угольник. Найдите длину его большей средней линии.

Давайте подробно разберём задачу и найдём решение шаг за шагом. **Задача:** На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Нужно найти длину его большей средней линии. --- ### Что такое средняя линия? *Средняя линия* — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. ### Что такое "большая" средняя линия? Поскольку у прямоугольного треугольника каждая из сторон имеет свою середину, есть три возможные средние линии — соединяющие середины сторон: 1. Отрезок, соединяющий середины катетов (прямых сторон, образующих угол 90°). 2. Отрезок, соединяющий середину гипотенузы и середину одного из катетов. 3. Отрезок, соединяющий середины гипотенузы и другого катета. Однако, **"большая" средняя линия** обычно — это та, которая соединяет середины двух сторон, и при этом является самой длинной. В случае прямоугольного треугольника — это обычно та, которая соединяет середины гипотенузы и катета, потому что гипотенуза — самая длинная сторона, и её середина, соединённая с серединой другого катета, даёт самую длинную линию. --- ### Шаг 1: обозначим стороны Обозначим стороны прямоугольного треугольника так: - Катет \(a\) - Катет \(b\) - Гипотенуза \(c\) Можем без ограничения общей ситуации, например, взять катеты \(a=3\), \(b=4\), гипотенузу \(c=5\) (известное классическое соотношение Пифагора). Поскольку из условия известно, что изображён треугольник на клетчатой бумаге, предположим, что он лежит так, что катеты идут вдоль сетки, например, от точки \(A(0,0)\) до \(B(0,3)\) и \(C(4,0)\). Тогда гипотенуза — соединяет точки \(B(0,3)\) и \(C(4,0)\). --- ### Шаг 2: Находим координаты вершин треугольника - \(A(0,0)\) - \(B(0,3)\) - \(C(4,0)\) --- ### Шаг 3: Находим середины сторон - Средина \(AB\): \[ M_{AB} = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+3}{2}\right) = (0, 1.5) \] - Средина \(AC\): \[ M_{AC} = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2, 0) \] - Средина \(BC\): \[ M_{BC} = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (2, 1.5) \] --- ### Шаг 4: Находим длины возможных средних линий Это отрезки, соединяющие указанные точки середин сторон. Разберём их по очереди: **1. Отрезок между серединой гипотенузы \(BC\) и серединой катета \(AB\):** - \(M_{AB} = (0, 1.5)\) - \(M_{BC} = (2, 1.5)\) Длина: \[ d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1.5 - 1.5)^2} = \sqrt{2^2 + 0} = 2 \] --- **2. Отрезок между серединой гипотенузы \(BC\) и серединой катета \(AC\):** - \(M_{AC} = (2, 0)\) - \(M_{BC} = (2, 1.5)\) Длина: \[ d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1.5 - 0)^2} = \sqrt{0 + 1.5^2} = 1.5 \] --- **3. Отрезок между серединами катетов \(AB\) и \(AC\):** - \(M_{AB} = (0, 1.5)\) - \(M_{AC} = (2, 0)\) Длина: \[ d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 1.5)^2} = \sqrt{2^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \] --- ### **Вывод:** Самая длинная средняя линия — это отрезок между серединой катета \(AC\) и серединой гипотенузы \(BC\), его длина равна **2**. --- ### **Ответ:** **Длина большей средней линии равна 2.** Если нужно более general-решение, предполагающее произвольный прямоугольный треугольник, оно состоит в вычислении координат по формуле и поиска длины серии средних линий, как показано выше. --- Если есть изображение, можно повторить для конкретных размеров, просто дать их значения.