в треугольнике АВС угол С= 90°,АС=8,tg А=33/4 корень 33. Найдите АВ
Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом при C, то есть \(\angle C = 90^\circ\). Из условий мы знаем:
- \( AC = 8 \)
- \(\tan A = \frac{33}{4\sqrt{33}} \)
Нужно найти длину стороны \( AB \).
Шаг 1. Построение и обозначения
Обозначим стороны:
- \( AC = 8 \) (передана, это катет, прилежащий к углу A)
- \( BC \) — другой катет, прилежащий к углу B
- \( AB \) — гипотенуза, которую нужно найти
Для прямого треугольника:
\[ \text{Гипотенуза } AB \text{ связана с катетами через теорему Пифагора:} \] \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Шаг 2. Используем тангенс угла \(\angle A\)
\(\tan A = \frac{\textотивльный \text{ катет}}{\text{прилежащий катет}}\), то есть
\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]
Дано:
\[ \tan A = \frac{33}{4 \sqrt{33}} \]
и из условия:
\[ AC = 8 \]
Тогда:
\[ BC = AC \times \tan A = 8 \times \frac{33}{4 \sqrt{33}} \]
Шаг 3. Упростим выражение для \( BC \)
\[ BC = 8 \times \frac{33}{4 \sqrt{33}} = 8 \times \frac{33}{4 \sqrt{33}} \]
заменяем:
\[ BC = \frac{8 \times 33}{4 \sqrt{33}} = \frac{8 \times 33}{4 \sqrt{33}} \]
Упростим числитель и знаменатель:
\[ BC = \frac{8 \times 33}{4 \sqrt{33}} = \frac{8 \times 33}{4 \sqrt{33}} \]
делим числитель и знаменатель на 4:
\[ BC = \frac{(8/4) \times 33}{\sqrt{33}} = \frac{2 \times 33}{\sqrt{33}} = \frac{66}{\sqrt{33}} \]
Далее упростим дробь:
\[ BC = \frac{66}{\sqrt{33}} \]
Заметим, что \(\sqrt{33} \times \sqrt{33} = 33\), поэтому:
\[ BC = \frac{66}{\sqrt{33}} = \frac{66 \times \sqrt{33}}{\sqrt{33} \times \sqrt{33}} = \frac{66 \sqrt{33}}{33} = 2 \sqrt{33} \]
Итак, получаем:
\[ BC = 2 \sqrt{33} \]
Шаг 4. Найдём гипотенузу \(AB\)
по теореме Пифагора:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]
Подставляем известные значения:
\[ AC = 8, \quad BC = 2 \sqrt{33} \]
\[ AB = \sqrt{8^2 + (2 \sqrt{33})^2} = \sqrt{64 + 4 \times 33} \]
вычислим:
\[ 4 \times 33 = 132 \]
тогда:
\[ AB = \sqrt{64 + 132} = \sqrt{196} = 14 \]
Ответ: \(\boxed{14}\)
Если что-то осталось непонятным — спрашивайте!
