Игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет двойка. Найди вероятность того, что ему потребуется два или три броска.
Давайте решим задачу с подробным объяснением.
Условие задачи:
Игрок бросает игральную кость (стандартная шестигранная) несколько раз, пока не выпадет двойка. Нужно найти вероятность того, что потребуется ровно 2 или 3 броска.
Шаг 1: Определим вероятности при броске
Вероятность выпадения двойки (успеха) на одном броске:
\[ p = \frac{1}{6} \]Вероятность НЕ выпадения двойки (неудачи) на одном броске:
\[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \]
Шаг 2: Определим события
Нам нужны события, в которых:
- Первый раз двойка выпадает на 2-м броске (то есть, первый бросок — неудача, второй — успех).
- Первый раз двойка выпадает на 3-м броске (первый — неудача, второй — неудача, третий — успех).
Обозначим:
- \(A_2\): "Двойка появляется на 2-м броске"
- \(A_3\): "Двойка появляется на 3-м броске"
Шаг 3: Найдём вероятность каждого события
Вероятность того, что первый раз двойка — на 2-м броске:
- Первый бросок не удался: \(q\)
- Второй бросок удался: \(p\)
Итак,
\[
P(A_2) = q \times p = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}
\]
Вероятность того, что первый раз двойка — на 3-м броске:
- Первый бросок не удался: \(q\)
- Второй бросок не удался: \(q\)
- Третий бросок удался: \(p\)
Итак,
\[
P(A_3) = q \times q \times p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}
\]
Шаг 4: Итоговая вероятность
Нам нужно найти вероятность, что потребуется ровно 2 или 3 броска:
\[ P(\text{2 или 3 броска}) = P(A_2) + P(A_3) = \frac{5}{36} + \frac{25}{216} \]
Приведём к общему знаменателю \(216\):
\[ \frac{5}{36} = \frac{5 \times 6}{36 \times 6} = \frac{30}{216} \]
Тогда,
\[ P = \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{55}{216} \]
Ответ:
Вероятность того, что потребуется 2 или 3 броска, равна \(\frac{55}{216}\).
