Найди множество корней уравнений: 5(x×x)-7x-24=0 4х(х-3)(7-х)=80

Давайте подробно разберём каждое уравнение и найдём их корни. --- ### Первое уравнение: \[ 5(x \times x) - 7x - 24 = 0 \] **Шаг 1: Перепишем уравнение в более удобной форме.** \( x \times x = x^2 \), поэтому уравнение выглядит так: \[ 5x^2 - 7x - 24 = 0 \] Это квадратичное уравнение вида: \[ a x^2 + b x + c = 0 \] где \( a=5 \), \( b=-7 \), \( c=-24 \). --- **Шаг 2: Решим его методом дискриминанта.** Дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4 a c \] Подставим значения: \[ D = (-7)^2 - 4 \times 5 \times (-24) \] \[ D = 49 + 480 = 529 \] Дискриминант положителен (\( D > 0 \)), значит у уравнения **два действительных корня**. --- **Шаг 3: Найдём корни по формуле:** \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{529}}{2 \times 5} = \frac{7 \pm 23}{10} \] - Для \( + \): \[ x_1 = \frac{7 + 23}{10} = \frac{30}{10} = 3 \] - Для \( - \): \[ x_2 = \frac{7 - 23}{10} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5} = -1.6 \] ### **Ответ для первого уравнения:** \[ \boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -\frac{8}{5} } \] --- ### Второе уравнение: \[ 4x(x-3)(7 - x) = 80 \] **Шаг 1: Раскроем скобки.** Сначала распределим: \[ 4x (x - 3) (7 - x) \] Обратим внимание, что \( (x - 3) \) и \( (7 - x) \)—это выражения со знаком минус. Попробуем упростить уравнение, заменив \( (7 - x) \): \[ (7 - x) = - (x - 7) \] Но удобнее сначала перемножить скобки \( (x - 3) \) и \( (7 - x) \). --- **Шаг 2: Перемножим \( (x - 3) \) и \( (7 - x) \).** Используем формулу разности: \[ (x - 3)(7 - x) \] Раскроем скобки: \[ x \times 7 - x \times x - 3 \times 7 + 3 x \] \[ 7x - x^2 - 21 + 3x \] Объединим подобные: \[ (-x^2) + (7x + 3x) - 21 = -x^2 + 10x - 21 \] Теперь вернемся к исходному уравнению: \[ 4x \times (-x^2 + 10x - 21) = 80 \] --- **Шаг 3: Раскроем умножение:** \[ 4x \times (-x^2 + 10x - 21) = 80 \] \[ 4x \times -x^2 + 4x \times 10x - 4x \times 21 = 80 \] Это: \[ -4x^3 + 40x^2 - 84x = 80 \] **Шаг 4: Перенесем всё в левую сторону уравнения:** \[ -4x^3 + 40x^2 - 84x - 80 = 0 \] Можем разделить всё уравнение на —4, чтобы упростить: \[ x^3 - 10x^2 + 21x + 20 = 0 \] --- ### Решение кубического уравнения: \[ x^3 - 10x^2 + 21x + 20 = 0 \] **Шаг 5: Поиск рациональных корней.** Для этого используем теорию корней: возможные рациональные корни — делители свободного члена 20: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \] Проверим каждый из них: - \( x=1 \): \[ 1 - 10 + 21 + 20 = 32 \neq 0 \] - \( x=-1 \): \[ -1 - 10 + (-21) + 20 = -12 \neq 0 \] - \( x=2 \): \[ 8 - 40 + 42 + 20 = 30 \neq 0 \] - \( x=-2 \): \[ -8 - 40 - 42 + 20 = -70 \neq 0 \] - \( x=4 \): \[ 64 - 160 + 84 + 20 = 8 \neq 0 \] - \( x=-4 \): \[ -64 - 160 - 84 + 20 = -288 \neq 0 \] - \( x=5 \): \[ 125 - 250 + 105 + 20 = 0 \] Отлично! **x=5** — один из корней. --- **Шаг 6: Разделим кубическое уравнение на \( (x-5) \) с помощью деления в stjórка или схемы Горнера.** Используем деление: \[ x^3 - 10x^2 + 21x + 20 \div (x - 5) \] деление: - Первый коэффициент: 1, множим на 5: 5, вычитаем: \[ -10 - 5 = -15 \] - Следующий коэффициент: -15, умножаем на 5: \(-75\), вычитаем: \[ 21 - (-75) = 96 \] - Следующий: 96, умножаем на 5: 480, прибавляем к 20: \[ 20 + 480 = 500 \] Значит, остаток равен 500, что указывает, что деление неправильно выполнено со знаком. Попробуем другой подход — схема Горнера: **Горнера для \( x=5 \):** - Коэффициенты у исходного многочлена: 1, -10, 21, 20 Проведем деление: | Коеф и | 1 | -10 | 21 | 20 | |---------|---|-----|-----|----| | Вводимые | | 5 | -25| -20| | Остаток | | 1 | -5 | 0 | Шаги: - 1 (начинаем) - 1*5=5, добавляем к -10: \(-10 + 5 = -5\) - -5*5 = -25, добавляем к 21: \(21 + (-25) = -4\) - -4*5=-20, добавляем к 20: \(20 + (-20) = 0\) Вот корень: \( x=5 \). Деление показывает, что многочлен делится на \( x-5 \), а остаток равен нулю. Значит, есть еще корни, связанные с делением. **Общий вид деления:** После деления получаем квадратное уравнение: \[ x^2 - 5x - 4 = 0 \] Это выполнимо. --- ### Решим квадратичное уравнение: \[ x^2 - 5x - 4 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 25 + 16 = 41 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} \] **Ответ для второго уравнения:** \[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \] --- ### Итоговые ответы: **Первое уравнение:** \[ \boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -\frac{8}{5} } \] **Второе уравнение:** \[ \boxed{ x = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} } \] Если есть вопросы или нужно подробное объяснение какого-то шага, скажи!