найди множество корней уравнений: 5(x×x)-7x-24=0 4х(х-3)(7-х)=80
Давайте подробно разберём каждое уравнение и найдём их корни.
Первое уравнение:
\[ 5(x \times x) - 7x - 24 = 0 \]
Шаг 1: Перепишем уравнение в более удобной форме.
\( x \times x = x^2 \), поэтому уравнение выглядит так:
\[ 5x^2 - 7x - 24 = 0 \]
Это квадратичное уравнение вида:
\[ a x^2 + b x + c = 0 \]
где \( a=5 \), \( b=-7 \), \( c=-24 \).
Шаг 2: Решим его методом дискриминанта.
Дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4 a c \]
Подставим значения:
\[ D = (-7)^2 - 4 \times 5 \times (-24) \]
\[ D = 49 + 480 = 529 \]
Дискриминант положителен (\( D > 0 \)), значит у уравнения два действительных корня.
Шаг 3: Найдём корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{529}}{2 \times 5} = \frac{7 \pm 23}{10} \]
- Для \( + \):
\[ x_1 = \frac{7 + 23}{10} = \frac{30}{10} = 3 \]
- Для \( - \):
\[ x_2 = \frac{7 - 23}{10} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5} = -1.6 \]
Ответ для первого уравнения:
\[ \boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -\frac{8}{5} } \]
Второе уравнение:
\[ 4x(x-3)(7 - x) = 80 \]
Шаг 1: Раскроем скобки.
Сначала распределим:
\[ 4x (x - 3) (7 - x) \]
Обратим внимание, что \( (x - 3) \) и \( (7 - x) \)—это выражения со знаком минус. Попробуем упростить уравнение, заменив \( (7 - x) \):
\[ (7 - x) = - (x - 7) \]
Но удобнее сначала перемножить скобки \( (x - 3) \) и \( (7 - x) \).
Шаг 2: Перемножим \( (x - 3) \) и \( (7 - x) \).
Используем формулу разности:
\[ (x - 3)(7 - x) \]
Раскроем скобки:
\[ x \times 7 - x \times x - 3 \times 7 + 3 x \]
\[ 7x - x^2 - 21 + 3x \]
Объединим подобные:
\[ (-x^2) + (7x + 3x) - 21 = -x^2 + 10x - 21 \]
Теперь вернемся к исходному уравнению:
\[ 4x \times (-x^2 + 10x - 21) = 80 \]
Шаг 3: Раскроем умножение:
\[ 4x \times (-x^2 + 10x - 21) = 80 \]
\[ 4x \times -x^2 + 4x \times 10x - 4x \times 21 = 80 \]
Это:
\[ -4x^3 + 40x^2 - 84x = 80 \]
Шаг 4: Перенесем всё в левую сторону уравнения:
\[ -4x^3 + 40x^2 - 84x - 80 = 0 \]
Можем разделить всё уравнение на —4, чтобы упростить:
\[ x^3 - 10x^2 + 21x + 20 = 0 \]
Решение кубического уравнения:
\[ x^3 - 10x^2 + 21x + 20 = 0 \]
Шаг 5: Поиск рациональных корней.
Для этого используем теорию корней: возможные рациональные корни — делители свободного члена 20:
\[
\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20
\]
Проверим каждый из них:
- \( x=1 \):
\[ 1 - 10 + 21 + 20 = 32 \neq 0 \]
- \( x=-1 \):
\[ -1 - 10 + (-21) + 20 = -12 \neq 0 \]
- \( x=2 \):
\[ 8 - 40 + 42 + 20 = 30 \neq 0 \]
- \( x=-2 \):
\[ -8 - 40 - 42 + 20 = -70 \neq 0 \]
- \( x=4 \):
\[ 64 - 160 + 84 + 20 = 8 \neq 0 \]
- \( x=-4 \):
\[ -64 - 160 - 84 + 20 = -288 \neq 0 \]
- \( x=5 \):
\[ 125 - 250 + 105 + 20 = 0 \]
Отлично! x=5 — один из корней.
Шаг 6: Разделим кубическое уравнение на \( (x-5) \) с помощью деления в stjórка или схемы Горнера.
Используем деление:
\[ x^3 - 10x^2 + 21x + 20 \div (x - 5) \]
деление:
- Первый коэффициент: 1, множим на 5: 5, вычитаем:
\[ -10 - 5 = -15 \] - Следующий коэффициент: -15, умножаем на 5: \(-75\), вычитаем:
\[ 21 - (-75) = 96 \] - Следующий: 96, умножаем на 5: 480, прибавляем к 20:
\[ 20 + 480 = 500 \]
Значит, остаток равен 500, что указывает, что деление неправильно выполнено со знаком. Попробуем другой подход — схема Горнера:
Горнера для \( x=5 \):
- Коэффициенты у исходного многочлена: 1, -10, 21, 20
Проведем деление:
| Коеф и | 1 | -10 | 21 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Вводимые | 5 | -25 | -20 | |
| Остаток | 1 | -5 | 0 |
Шаги:
- 1 (начинаем)
- 1*5=5, добавляем к -10: \(-10 + 5 = -5\)
- -5*5 = -25, добавляем к 21: \(21 + (-25) = -4\)
- -4*5=-20, добавляем к 20: \(20 + (-20) = 0\)
Вот корень: \( x=5 \). Деление показывает, что многочлен делится на \( x-5 \), а остаток равен нулю. Значит, есть еще корни, связанные с делением.
Общий вид деления:
После деления получаем квадратное уравнение:
\[ x^2 - 5x - 4 = 0 \]
Это выполнимо.
Решим квадратичное уравнение:
\[ x^2 - 5x - 4 = 0 \]
Дискриминант:
\[
D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 25 + 16 = 41
\]
Корни:
\[
x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}
\]
Ответ для второго уравнения:
\[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \]
Итоговые ответы:
Первое уравнение: \[ \boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -\frac{8}{5} } \]
Второе уравнение: \[ \boxed{ x = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} } \]
Если есть вопросы или нужно подробное объяснение какого-то шага, скажи!
