№11. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности 8 см. Найти площадь образованного кольца и площадь треугольника.

Когда вокруг правильного треугольника описана окружность, а внутри него вписана другая окружность, возникает интересная геометрическая фигура. Для решения задачи сначала найдем радиусы обеих окружностей. Пусть R и r будут радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно. Так как треугольник правильный, то можно установить, что радиус описанной окружности R равен половине длины стороны треугольника. Следовательно, R = a/√3, где "а" - длина стороны треугольника. Для вписанной окружности радиус r равен половине высоты треугольника, проведенной к стороне треугольника. Так как высота правильного треугольника равна (a√3)/2, где "а" - длина стороны треугольника, то радиус вписанной окружности r = (a√3)/6. Дано, что длина меньшей окружности равна 8 см, следовательно, r = 8 см. Из равенства r = (a√3)/6 находим длину стороны "а" правильного треугольника: а = 48/√3 см. Теперь можем вычислить площадь треугольника. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: S = (a^2√3)/4, где "a" - длина стороны треугольника. Подставим a = 48/√3 в формулу и найдем площадь треугольника. После этого, чтобы найти площадь образованного кольца, нужно вычесть площадь вписанной окружности из площади описанной окружности. Площадь кольца равна S_кольца = πR^2 - πr^2, где R - радиус описанной окружности, а r - радиус вписанной окружности. Таким образом, сначала найдите площадь треугольника по формуле S = (a^2√3)/4, а затем используйте найденные значения радиусов и формулу для площади кольца, чтобы решить задачу.