Сколько существует четырёхзначных чисел, которые получаются из числа 1234 перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят рядом?

Чтобы решить задачу, давайте разберемся по шагам.

Задача:
Нас просят найти количество четырёхзначных чисел, которые получаются перестановкой цифр числа 1234 и при этом четные цифры не стоят рядом.

Шаг 1. Определим возможные цифры и их расположение

Исходное число: 1, 2, 3, 4 — все разные цифры.
Четные цифры — 2 и 4.
Нечетные цифры — 1 и 3.

Нам нужно переставить все четыре цифры (то есть использовать все цифры без повторений) так, чтобы цифры 2 и 4 (четные) не оказались рядом.

Шаг 2. Общее количество перестановок

Общее число перестановок четырёх различных цифр:
\[4! = 24\]

Но нам нужно только те, где 2 и 4 не расположены рядом.

Шаг 3. Подсчет допустимых вариантов (метод вычитания и конструкции)

1. Общее число перестановок \( N_{total} = 24 \).

2. Подсчитаем количество перестановок, где 2 и 4 идут вместе (в паре).
   Затем вычтем их из общего количества, чтобы получить числа, где 2 и 4 не рядом.

Шаг 4. Подсчет перестановок, где 2 и 4 идут вместе

Рассмотрим пары 2 и 4 как единый блок:

• Блок 1: (2,4) или (4,2) — 2 варианта внутри блока.
• Внутри блока возможны две последовательности: (2,4) или (4,2).

Теперь у нас из цифр:

• этот блок (считая его как одну "объединенную" цифру), плюс оставшиеся цифры 1 и 3.
• Всего объектов для перестановки: 3 (блок, 1, 3).

Количество перестановок этих 3 объектов:
\[3! = 6\]

Но в каждом случае внутри блока есть 2 варианта (подробнее: (2,4) или (4,2)), итого:
\[6 \times 2 = 12\]

Количество перестановок, где 2 и 4 идут вместе:
\[N_{pair} = 12\]

Шаг 5. Итоговое количество перестановок, где 2 и 4 НЕ идут вместе:

\[N_{not\_pair} = N_{total} - N_{pair} = 24 - 12 = 12\]

Ответ:

Количество четырёхзначных чисел, которые получаются перестановкой цифр числа 1234 и при этом четные цифры не стоят рядом, равно 12.

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с объяснением какого-либо шага — спрашивайте!