Докажи что (3×5⁶-81) кратно 33

Давайте докажем, что выражение \(3 \times 5^6 - 81\) кратно 33.

Шаг 1: Упростим выражение

Перепишем исходное выражение: \[ 3 \times 5^6 - 81 \]

Шаг 2: Вычислим \(5^6\)

\[ 5^6 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \] Посчитаем по шагам: \[ 5^2 = 25 \] \[ 5^3 = 25 \times 5 = 125 \] \[ 5^4 = 125 \times 5 = 625 \] \[ 5^5 = 625 \times 5 = 3125 \] \[ 5^6 = 3125 \times 5 = 15625 \]

Шаг 3: Подставим и упростим

Теперь выражение: \[ 3 \times 15625 - 81 = 46875 - 81 = 46794 \]

Шаг 4: Проверим делимость на 33

Число 33 — это произведение 3 и 11, то есть: \[ 33 = 3 \times 11 \] Чтобы доказать, что число делится на 33, достаточно показать, что оно делится и на 3, и на 11.

Шаг 5: Проверим делимость на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Посчитаем сумму цифр числа 46794: \[ 4 + 6 + 7 + 9 + 4 = 30 \] Так как 30 делится на 3 (\(30 \div 3 = 10\)), то число 46794 делится на 3.

Шаг 6: Проверим делимость на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр на нечетных и четных позициях делится на 11.

Рассмотрим цифры числа 46794 по позициям:

• Нечетные позиции: 4 (1-я), 7 (3-я), 4 (5-я) → сумма: \(4 + 7 + 4 = 15\)
• Четные позиции: 6 (2-я), 9 (4-я) → сумма: \(6 + 9 = 15\)

Разность: \[ 15 - 15 = 0 \]

Поскольку 0 делится на 11, число 46794 делится на 11.

Шаг 7: Заключение

Поскольку число \(46794\) делится и на 3, и на 11, оно делится на их произведение — на 33.

Ответ: выражение \(3 \times 5^6 - 81\) действительно кратно 33.