Закрыто металлический бак с квадратным но должен иметь объём 343 км³ при каких размерах его изготовления пойдёт наименьшее количество металла?

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как минимизировать площадь металла, из которого изготовят металлический бак с заданным объемом. **Задача:** Нам нужно изготовить металлический бак с квадратным основанием так, чтобы его объем был равен 343 км³, и при этом количество использованного металла (поверхность бака) было минимальным. --- ### Шаг 1: Ввод данных и обозначения Пусть: - \( x \) — длина стороны квадрата основания, в км - \( h \) — высота бака, в км - Объем бака \( V = x^2 \times h = 343 \, \text{км}^3 \) Нам нужно: - Найти размеры \( x \) и \( h \), при которых площадь поверхности (используемая металл) минимальна. --- ### Шаг 2: Запись выражения для объема Объем: \[ x^2 h = 343 \Rightarrow h = \frac{343}{x^2} \] --- ### Шаг 3: Площадь поверхности, которую нужно минимизировать Площадь металла — это площадь всех стенок и дна бака (верхняя и нижняя части не нужны, если бак закрыт только снизу и стенками, или, если закрыт полностью, — тогда и основание, и крышка). Но в задаче сказано «закрытый бак», значит, нужно закрыть его с двух сторон — дно и крышу, и стены. Общая площадь: - Дно: \( x^2 \) - Верхняя часть (крыша): \( x^2 \) - Боковые стенки: 4 стенки по периметру, каждая высотой \( h \) и длиной \( x \): \[ 4 \times x \times h \] Итак, площадь металла: \[ S = 2 x^2 + 4 x h \] Подставим \( h \) из уравнения объема: \[ S = 2 x^2 + 4 x \times \frac{343}{x^2} = 2 x^2 + \frac{1372}{x} \] --- ### Шаг 4: Минимизация площади \( S \) Задача сводится к минимизации функции: \[ S(x) = 2 x^2 + \frac{1372}{x} \] Найдем ее производную и приравняем к нулю: \[ S'(x) = 4 x - \frac{1372}{x^2} \] Пусть: \[ S'(x) = 0 \Rightarrow 4 x = \frac{1372}{x^2} \] Рассчитаем \( x \): \[ 4 x^3 = 1372 \Rightarrow x^3 = \frac{1372}{4} = 343 \] Так как \( 343 = 7^3 \), то: \[ x = 7 \text{ км} \] --- ### Шаг 5: Находим высоту \( h \) Подставим \( x = 7 \) в выражение для \( h \): \[ h = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7 \text{ км} \] --- ### Итог: - **Размеры бака:** - Длина стороны основания: **7 км** - Высота бака: **7 км** - **Минимальный расход металла:** Подставим \( x = 7 \) обратно в площадь: \[ S_{миним} = 2 \times 7^2 + \frac{1372}{7} = 2 \times 49 + 196 = 98 + 196 = 294 \text{ км}^2 \] --- ### Итоговая ответ: **Чтобы бака имел объем 343 км³ и использовал минимальное количество металла, его размеры должны быть:** - **Длина стороны основания:** 7 км - **Высота:** 7 км **При этом минимальный расход металла (площадь поверхности) равен 294 км².**