закрыто металлический бак с квадратным но должен иметь объём 343 км³ при каких размерах его изготовления пойдёт наименьшее количество металла?

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как минимизировать площадь металла, из которого изготовят металлический бак с заданным объемом.

Задача:
Нам нужно изготовить металлический бак с квадратным основанием так, чтобы его объем был равен 343 км³, и при этом количество использованного металла (поверхность бака) было минимальным.

Шаг 1: Ввод данных и обозначения

Пусть:

• \( x \) — длина стороны квадрата основания, в км
• \( h \) — высота бака, в км
• Объем бака \( V = x^2 \times h = 343 \, \text{км}^3 \)

Нам нужно:

• Найти размеры \( x \) и \( h \), при которых площадь поверхности (используемая металл) минимальна.

Шаг 2: Запись выражения для объема

Объем:
\[ x^2 h = 343 \Rightarrow h = \frac{343}{x^2} \]

Шаг 3: Площадь поверхности, которую нужно минимизировать

Площадь металла — это площадь всех стенок и дна бака (верхняя и нижняя части не нужны, если бак закрыт только снизу и стенками, или, если закрыт полностью, — тогда и основание, и крышка).
Но в задаче сказано «закрытый бак», значит, нужно закрыть его с двух сторон — дно и крышу, и стены.

Общая площадь:

• Дно: \( x^2 \)
• Верхняя часть (крыша): \( x^2 \)
• Боковые стенки: 4 стенки по периметру, каждая высотой \( h \) и длиной \( x \):
  \[ 4 \times x \times h \]

Итак, площадь металла:
\[ S = 2 x^2 + 4 x h \]

Подставим \( h \) из уравнения объема:
\[ S = 2 x^2 + 4 x \times \frac{343}{x^2} = 2 x^2 + \frac{1372}{x} \]

Шаг 4: Минимизация площади \( S \)

Задача сводится к минимизации функции:
\[ S(x) = 2 x^2 + \frac{1372}{x} \]

Найдем ее производную и приравняем к нулю:
\[ S'(x) = 4 x - \frac{1372}{x^2} \]

Пусть:
\[ S'(x) = 0 \Rightarrow 4 x = \frac{1372}{x^2} \]

Рассчитаем \( x \):
\[ 4 x^3 = 1372 \Rightarrow x^3 = \frac{1372}{4} = 343 \]

Так как \( 343 = 7^3 \), то:
\[ x = 7 \text{ км} \]

Шаг 5: Находим высоту \( h \)

Подставим \( x = 7 \) в выражение для \( h \):
\[ h = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7 \text{ км} \]

Итог:

• Размеры бака:

  • Длина стороны основания: 7 км
  • Высота бака: 7 км

• Минимальный расход металла:
  Подставим \( x = 7 \) обратно в площадь:
  \[ S_{миним} = 2 \times 7^2 + \frac{1372}{7} = 2 \times 49 + 196 = 98 + 196 = 294 \text{ км}^2 \]

Итоговая ответ:

Чтобы бака имел объем 343 км³ и использовал минимальное количество металла, его размеры должны быть:

• Длина стороны основания: 7 км
• Высота: 7 км

При этом минимальный расход металла (площадь поверхности) равен 294 км².