Давайте пошагово решим задачу.
Дано:
Масса Луны ( M_{Л} ) в 81 раз меньше массы Земли ( M_{З} ):
[ M_{Л} = \frac{M_{З}}{81} ]
Расстояние между центрами Земли и Луны ( R_{Л} ):
[ R_{Л} = 60 R_{З} ]
где ( R_{З} ) — радиус Земли.
Требуется найти расстояние ( r ) от центра Земли до космического корабля, при котором силы притяжения от Земли и Луны уравновешиваются.
Решение:
Обозначим:
- ( r ) — расстояние от центра Земли до корабля.
- Тогда расстояние от корабля до центра Луны:
[ R_{К} = R_{Л} - r ]
(при условии, что корабль находится между Землёй и Луной).
Закон всемирного тяготения:
Сила притяжения:
[ F = G \frac{Масса , тела_1 \times Масса , тела_2}{r^2} ]
На корабль действует сила притяжения от Земли:
[ F_{З} = G \frac{M_{З}}{r^2} ]
От Луны:
[ F_{Л} = G \frac{M_{Л}}{(R_{К})^2} = G \frac{\frac{M_{З}}{81}}{(R_{Л} - r)^2} ]
Условие уравновешивания сил:
[ F_{З} = F_{Л} ]
Подставляем:
[ G \frac{M_{З}}{r^2} = G \frac{\frac{M_{З}}{81}}{(R_{Л} - r)^2} ]
Сокращаем ( G ) и ( M_{З} ):
[ \frac{1}{r^2} = \frac{1/81}{(R_{Л} - r)^2} ]
или
[ \frac{1}{r^2} = \frac{1}{81 (R_{Л} - r)^2} ]
Теперь получаем:
[ (R_{Л} - r)^2 = 81 r^2 ]
Решение уравнения:
[ R_{Л} - r = 9 r ] или [ R_{Л} - r = -9 r ]
Рассмотрим каждое:
( R_{Л} - r = 9 r )
[
R_{Л} = 10 r \Rightarrow r = \frac{R_{Л}}{10}
]
( R_{Л} - r = -9 r )
[
R_{Л} = -8 r \Rightarrow r = - \frac{R_{Л}}{8}
]
Отрицательное расстояние не имеет физического смысла, следовательно, берем первый вариант.
Итог:
[
r = \frac{R_{Л}}{10}
]
Подставляем ( R_{Л} = 60 R_{З} ):
[
r = \frac{60 R_{З}}{10} = 6 R_{З}
]
Ответ:
Космический корабль находится на расстоянии ( 6 ) радиусов Земли от её центра, чтобы силы притяжения Земли и Луны уравновешивали друг друга.
