На каком расстоянии от центра Земли, выраженном в земных радиусах, силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы…

Давайте пошагово решим задачу.

Дано:

• Масса Луны \( M_{Л} \) в 81 раз меньше массы Земли \( M_{З} \): \[ M_{Л} = \frac{M_{З}}{81} \]

• Расстояние между центрами Земли и Луны \( R_{Л} \): \[ R_{Л} = 60 R_{З} \] где \( R_{З} \) — радиус Земли.

• Требуется найти расстояние \( r \) от центра Земли до космического корабля, при котором силы притяжения от Земли и Луны уравновешиваются.

---

Решение:

Обозначим:

• \( r \) — расстояние от центра Земли до корабля.
• Тогда расстояние от корабля до центра Луны: \[ R_{К} = R_{Л} - r \] (при условии, что корабль находится между Землёй и Луной).

---

Закон всемирного тяготения:

Сила притяжения:

\[ F = G \frac{Масса \, тела_1 \times Масса \, тела_2}{r^2} \]

На корабль действует сила притяжения от Земли:

\[ F_{З} = G \frac{M_{З}}{r^2} \]

От Луны:

\[ F_{Л} = G \frac{M_{Л}}{(R_{К})^2} = G \frac{\frac{M_{З}}{81}}{(R_{Л} - r)^2} \]

Условие уравновешивания сил:

\[ F_{З} = F_{Л} \]

Подставляем:

\[ G \frac{M_{З}}{r^2} = G \frac{\frac{M_{З}}{81}}{(R_{Л} - r)^2} \]

Сокращаем \( G \) и \( M_{З} \):

\[ \frac{1}{r^2} = \frac{1/81}{(R_{Л} - r)^2} \]

или

\[ \frac{1}{r^2} = \frac{1}{81 (R_{Л} - r)^2} \]

Теперь получаем:

\[ (R_{Л} - r)^2 = 81 r^2 \]

---

Решение уравнения:

\[ R_{Л} - r = 9 r \] или \[ R_{Л} - r = -9 r \]

Рассмотрим каждое:

1. \( R_{Л} - r = 9 r \)

   \[ R_{Л} = 10 r \Rightarrow r = \frac{R_{Л}}{10} \]

2. \( R_{Л} - r = -9 r \)

   \[ R_{Л} = -8 r \Rightarrow r = - \frac{R_{Л}}{8} \]

Отрицательное расстояние не имеет физического смысла, следовательно, берем первый вариант.

---

Итог:

\[ r = \frac{R_{Л}}{10} \]

Подставляем \( R_{Л} = 60 R_{З} \):

\[ r = \frac{60 R_{З}}{10} = 6 R_{З} \]

---

Ответ:

Космический корабль находится на расстоянии \( 6 \) радиусов Земли от её центра, чтобы силы притяжения Земли и Луны уравновешивали друг друга.