Заряды по 10^7 Кл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряженность в точке удаленной на 5 см от каждого заряда, если заряды разноименные.
Давайте подробно разберем задачу по шагам.
Дано:
- Заряды по 10^7 Кл (то есть 10 миллионов кулон),
- Расстояние между зарядами — 6 см,
- Расстояние до точки наблюдения — 5 см от каждого заряда,
- Заряды разноименные (один положительный, другой отрицательный).
Задача: найти напряженность в точке, находящейся на 5 см от каждого заряда.
Шаг 1. Представление схемы
Условно обозначим два заряда:
- Заряд \( q_1 = +10^7 \text{ Кл} \),
- Заряд \( q_2 = -10^7 \text{ Кл} \).
Координаты наших зарядов и точки:
- Пусть оба заряда расположены на одной оси, на расстоянии 6 см друг от друга.
- Пусть точка, в которой ищем напряженность, расположена так, что она находится на 5 см от каждого заряда.
Для удобства можно расположить заряды так:
- \( q_1 \) в точке \( (0,0) \),
- \( q_2 \) в точке \( (6 \text{ см}, 0) \),
- точка наблюдения \( P \) — в точке, например, на оси, которая находится так, что она удалена на 5 см от каждого заряда, например, по оси \( y \).
Обозначим:
- \( P \) в точке \( (x,y) \),
- Тогда координаты точек:
- \( q_1 \): (0,0),
- \( q_2 \): (6 см, 0),
- \( P \): (x,y).
Пусть \( P \) находится так, чтобы оно было на одинаковом расстоянии (5 см) от обоих зарядов.
Шаг 2. Определение положения точки \( P \)
Требуется, чтобы расстояние от \( P \) до каждого заряда было равно 5 см:
\[ | \vec{r}_P - \vec{r}_{q_1} | = 5 \text{ см} \] \[ | \vec{r}_P - \vec{r}_{q_2} | = 5 \text{ см} \]
Обозначим координаты \( P = (x,y) \).
Тогда: \[ \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = 5 \] \[ \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 0)^2} = 5 \]
Итак, у нас две окружности:
- Первая — круг с центром в (0,0), радиус 5 см,
- Вторая — круг с центром в (6,0), радиус 5 см.
Очевидно, что точки, равные расстоянию 5 см от обоих зарядов, лежат на пересечениях этих окружностей. Пусть \( P = (x,y) \) — точка пересечения.
Шаг 3. Нахождение координат точки \( P \)
Рассмотрим уравнения окружностей:
- \( x^2 + y^2 = 25 \),
- \( (x - 6)^2 + y^2 = 25 \).
Вычитая уравнения:
\[ x^2 + y^2 - [(x - 6)^2 + y^2] = 0 \] \[ x^2 - (x^2 - 12x + 36) = 0 \] \[ x^2 - x^2 + 12x - 36 = 0 \] \[ 12x = 36 \] \[ x = 3 \]
Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение:
\[ 3^2 + y^2 = 25 \] \[ 9 + y^2 = 25 \] \[ y^2 = 16 \] \[ y = \pm 4 \]
Итак, возможные координаты Punkт \( P \):
- \( (3, 4) \),
- \( (3, -4) \).
Для удобства возьмём \( P = (3, 4) \), поскольку в обоих случаях сил будут иметь одинаковую модульность, только направления — противоположные.
Шаг 4. Расчет напряженности
Модуль напряженности электростатического поля от одного заряда в точке:
\[ E = \frac{k |q|}{r^2} \]
где:
- \( k \) — электродинамическая постоянная (\( 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)),
- \( q = 10^7 \text{ Кл} \),
- \( r = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м} \).
Подставим:
\[ E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^7}{(0,05)^2} \]
Посчитаем:
\[ E = \frac{9 \times 10^{16}}{0,0025} = 9 \times 10^{16} \div 2,5 \times 10^{-3} \]
Обратите внимание: при делении на \( 0,0025 \), это то же самое, что умножение на \( 400 \):
\[ E = 9 \times 10^{16} \times 400 = 3,6 \times 10^{19} \text{ Н/Кл} \]
Шаг 5. Векторное суммирование напряженностей
- Заряд \( q_1 \) (положительный) создает поле, направленное от заряда к точке \( P \).
- Заряд \( q_2 \) (отрицательный) — поле, направленное от точки к заряду (распределение в сторону точки, поскольку заряд отрицательный).
Определим направления:
Расстояния от зарядов до точки: \[ r_{q_1 P} = r_{q_2 P} = 5 \text{ см} \]
Вектор напряженности от \( q_1 \): \[ \vec{E}_1 = E \cdot \hat{r}_1 \]
Направлен в сторону от \( q_1 \) к \( P \). Вектор по координатам:
\[ \hat{r}_1 = \frac{(x - 0, y - 0)}{r} = \frac{(3,4)}{5} = \left(0.6, 0.8 \right) \]
Значит:
\[ \vec{E}_1 = E \times (0.6, 0.8) \]
где \( E \approx 3,6 \times 10^{19} \).
Вектор напряженности от \( q_2 \):
Заряд отрицательный, поэтому поле в точку направлено на заряд \( q_2 \) (от \( P \) к заряду). Вектор направлен в сторону от точки \( P \) к \( q_2 \):
\[ \hat{r}_2 = \frac{(x_{q_2} - x, y_{q_2} - y)}{r} = \frac{(6 - 3, 0 - 4)}{5} = \frac{(3, -4)}{5} = (0.6, -0.8) \]
Поскольку заряд отрицательный, напряженность создается в направлении от отрицательного заряда, т.е. вектор направления — это \(\hat{r}_2\).
Модуль \( E \):
\[ E_{q_2} = \frac{k |q|}{r^2} = 3,6 \times 10^{19} \quad \text{(так же, как и для другого)}. \]
Поэтому вектор:
\[ \vec{E}_2 = E \times (0.6, -0.8) \]
Шаг 6. Итоговое поле
Теперь найдём сумму векторное:
\[ \vec{E}_\text{итог} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \]
Компоненты:
\[ E_{x} = E \times 0.6 + E \times 0.6 = 2 \times E \times 0.6 = 1.2 \times E \]
\[ E_{y} = E \times 0.8 + E \times (-0.8) = 0 \]
Итого:
\[ |\vec{E}_\text{итог}| = \sqrt{(1.2 E)^2 + 0^2} = 1.2 E \]
Подставим значение \( E \):
\[ |\vec{E}_\text{итог}| = 1.2 \times 3.6 \times 10^{19} \approx 4.32 \times 10^{19} \, \text{Н/Кл} \]
Ответ:
Магнитная напряженность в точке — приблизительно \( \boxed{4.3 \times 10^{19} \, \text{Н/Кл}} \).
Если нужно более детальное пояснение или перевод в другие единицы — скажите!
