в треугольнике zno угол o равен 90 градусов, zo=3, no=корень из 7 найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника
Рассмотрим задачу: у нас есть прямоугольный треугольник \( ZNO \), где угол \( O \) равен 90 градусам. Из условий: \( ZO = 3 \), \( NO = \sqrt{7} \). Нужно найти радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника (то есть радиус вписанной окружности).
Шаг 1. Обозначим известные стороны и угол:
- \( \angle O = 90^\circ \)
- \( ZO = 3 \)
- \( NO = \sqrt{7} \)
Обозначим стороны:
- \( ZO = c = 3 \) (против гипотенузы)
- \( NO = a = \sqrt{7} \) (одна из катетов)
- \( ZN = b \) (вторая катет)
Шаг 2. Найдём гипотенузу \( ZN \):
Поскольку треугольник прямой в точке \( O \), по теореме Пифагора:
\[ ZN^2 = ZO^2 + NO^2 \]
\[ b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16 \]
\[ b = \sqrt{16} = 4 \]
Шаг 3. Найдём периметр треугольника \( P \) и сумму сторон: \[ P = a + b + c = \sqrt{7} + 4 + 3 \]
Периметр важен для вычисления радиуса вписанной окружности, так как формула для радиуса вписанной окружности \( r \) в треугольнике: \[ r = \frac{S}{p} \] где:
- \( S \) — площадь треугольника,
- \( p \) — полу Perimeter: \( p = \frac{a + b + c}{2} \)
Шаг 4. Найдём площадь треугольника \( S \):
Так как у нас есть прямой треугольник, его площадь легко найти как половину произведения катетов:
\[
S = \frac{1}{2} \times ZO \times NO = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{7}
\]
\[
S = \frac{3\sqrt{7}}{2}
\]
Шаг 5. Найдём полупериметр \( p \):
\[
p = \frac{\sqrt{7} + 4 + 3}{2} = \frac{\sqrt{7} + 7}{2}
\]
Шаг 6. Рассчитаем радиус вписанной окружности \( r \):
По формуле:
\[
r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{2}}{\frac{\sqrt{7} + 7}{2}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{7} + 7} = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 7}
\]
Шаг 7. Упростим выражение:
Заметим, что \(\sqrt{7} + 7\) — это сумма, и numerator \( 3\sqrt{7} \):
\[ r = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 7} \]
Можно оставить в таком виде или умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{7} - 7\) для рационализации:
\[ r = \frac{3\sqrt{7} \times (\sqrt{7} - 7)}{(\sqrt{7} + 7)(\sqrt{7} - 7)} \]
Знаменатель — разность квадратов:
\[ (\sqrt{7})^2 - 7^2 = 7 - 49 = -42 \]
Рассчитаем числитель:
\[ 3\sqrt{7} \times (\sqrt{7} - 7) = 3\sqrt{7} \times \sqrt{7} - 3\sqrt{7} \times 7 = 3 \times 7 - 21 \sqrt{7} = 21 - 21 \sqrt{7} \]
Тогда:
\[ r = \frac{21 - 21 \sqrt{7}}{-42} = -\frac{21(1 - \sqrt{7})}{42} = -\frac{1 - \sqrt{7}}{2} \]
Минус можно убрать, так как радиус — положительное число:
\[ r = \frac{\sqrt{7} - 1}{2} \]
Ответ:
\(\boxed{\frac{\sqrt{7} - 1}{2}}\)
Радиус окружности, описанной около этого прямоугольного треугольника, равен \(\displaystyle \frac{\sqrt{7} - 1}{2}\).
