найдите величину|2ā -3√3b| если a=3 |b|=2 и угол между векторами ā и b равен 30°
Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Дано:
- \( a = 3 \)
- \( |b| = 2 \)
- Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 30^\circ \)
Нам нужно найти величину: \[ |2\vec{a} - 3\sqrt{3} \vec{b}| \]
Шаг 1: Определим модули и векторы
Поскольку в условии не указаны конкретные компоненты векторов, будем рассматривать их как произвольные векторы, соответствующие данным модулям, и задействуем свойства векторной длины и скалярного произведения.
Шаг 2: Величина \( |2 \vec{a} - 3\sqrt{3} \vec{b}| \)
Используем формулу длины разности векторов: \[ | \vec{u} - \vec{v} |^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 \, (\vec{u} \cdot \vec{v}) \]
Пусть:
- \( \vec{u} = 2 \vec{a} \)
- \( \vec{v} = 3 \sqrt{3} \vec{b} \)
Тогда: \[ |2 \vec{a} - 3 \sqrt{3} \vec{b}| = \sqrt{ |2 \vec{a}|^2 + |3 \sqrt{3} \vec{b}|^2 - 2 \, (2 \vec{a} \cdot 3 \sqrt{3} \vec{b}) } \]
Шаг 3: Вычислим компоненты
\( |2 \vec{a}| = 2 |\vec{a}| = 2 \times 3 = 6 \)
\( |3 \sqrt{3} \vec{b}| = 3 \sqrt{3} |\vec{b}| = 3 \sqrt{3} \times 2 = 6 \sqrt{3} \)
В квадрате: \[ |2 \vec{a}|^2 = 6^2 = 36 \] \[ |3 \sqrt{3} \vec{b}|^2 = (6 \sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108 \]
Теперь найдём скалярное произведение \( 2 \vec{a} \cdot 3 \sqrt{3} \vec{b} \)
\[ 2 \times 3 \sqrt{3} \times (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6 \sqrt{3} (\vec{a} \cdot \vec{b}) \]
Шаг 4: Вычислим \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)
Из условия: \[ |\vec{a}| = 3 \] \[ |\vec{b}| = 2 \] \[ \text{угол } \theta = 30^\circ \] скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = 3 \times 2 \times \cos 30^\circ \] \[ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \]
Шаг 5: Подставляем всё в формулу
\[ |2 \vec{a} - 3 \sqrt{3} \vec{b}| = \sqrt{36 + 108 - 2 \times 6 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3}} \]
Рассчитаем последний член: \[ 2 \times 6 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 2 \times 6 \times 3 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 2 \times 6 \times 3 \times 3 \] \[ = 2 \times 6 \times 9 = 2 \times 54 = 108 \]
Шаг 6: Итоговое вычисление
\[ |2 \vec{a} - 3 \sqrt{3} \vec{b}| = \sqrt{36 + 108 - 108} = \sqrt{36} = 6 \]
Ответ:
\[ \boxed{6} \]
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение, скажи!
