У Тани есть теннисный мячик она со всей силы бросила его об асфальт, после первого отскока мячик подлетел на высоту 270 смс а после каждого следущего отскока от асфальт подлетал…

Рассмотрим задачу и обозначим:

• Первая высота после отскока — 270 см.
• После каждого следующего отскока высота уменьшается в три раза.

Нам нужно определить, после какого по счету отскока высота станет меньше 10 см.

Обозначения:

• \( h_1 = 270 \) см — высота после первого отскока.
• \( h_n \) — высота после n-го отскока.

Каждый следующий отскок:
\[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{3} \]

или по формуле:
\[ h_{n} = h_1 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \]

Нужно найти минимальное \( n \), при котором:
\[ h_{n} < 10 \]

Подставляем формулу:
\[ 270 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 10 \]

Делим обе части на 270:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{10}{270} \]

Упростим правую часть:
\[ \frac{10}{270} = \frac{1}{27} \]

Теперь получаем:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{27} \]

Заметим, что:
\[ \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]

Следовательно:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \left(\frac{1}{3}\right)^3 \]

Поскольку \(\frac{1}{3}\) — число меньше 1, неравенство будет выполняться, если показатель степени слева больше, чем справа (так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^k\) убывает с увеличением \(k\)).

Из этого следует:
\[ n - 1 > 3 \]

То есть:
\[ n > 4 \]

Значит, при \( n = 5 \), высота станет меньше 10 см.

Проверим это более точно:
Для \( n=4 \):
\[ h_4 = 270 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = 270 \times \frac{1}{27} = 10 \text{ см} \]

Для \( n=5 \):
\[ h_5 = 270 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{4} = 270 \times \frac{1}{81} = \frac{270}{81} = 3.\overline{333} \text{ см} \]

Последний показатель меньше 10 см, значит, после 5-го отскока высота станет меньше 10 см.

Ответ: после 5-го отскока.