У Тани есть теннисный мячик она со всей силы бросила его об асфальт, после первого отскока мячик подлетел на высоту 270 смс а после каждого следущего отскока от асфальт подлетал на высоту в три раза меньше предыдущего после какого по счету отскока высота на которую подлетит мячик станет меньше 10 см

Рассмотрим задачу и обозначим: - Первая высота после отскока — 270 см. - После каждого следующего отскока высота уменьшается в три раза. Нам нужно определить, после какого по счету отскока высота станет меньше 10 см. Обозначения: - \( h_1 = 270 \) см — высота после первого отскока. - \( h_n \) — высота после n-го отскока. Каждый следующий отскок: \[ h_{n} = \frac{h_{n-1}}{3} \] или по формуле: \[ h_{n} = h_1 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] Нужно найти минимальное \( n \), при котором: \[ h_{n} < 10 \] Подставляем формулу: \[ 270 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 10 \] Делим обе части на 270: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{10}{270} \] Упростим правую часть: \[ \frac{10}{270} = \frac{1}{27} \] Теперь получаем: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{27} \] Заметим, что: \[ \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \] Следовательно: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \left(\frac{1}{3}\right)^3 \] Поскольку \(\frac{1}{3}\) — число меньше 1, неравенство будет выполняться, если показатель степени слева больше, чем справа (так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^k\) убывает с увеличением \(k\)). Из этого следует: \[ n - 1 > 3 \] То есть: \[ n > 4 \] Значит, при \( n = 5 \), высота станет меньше 10 см. Проверим это более точно: Для \( n=4 \): \[ h_4 = 270 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = 270 \times \frac{1}{27} = 10 \text{ см} \] Для \( n=5 \): \[ h_5 = 270 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{4} = 270 \times \frac{1}{81} = \frac{270}{81} = 3.\overline{333} \text{ см} \] Последний показатель меньше 10 см, значит, после 5-го отскока высота станет меньше 10 см. **Ответ:** после 5-го отскока.