Построй график функции  y = − x ∣ x ∣ − 5 ∣ x ∣ − 4 x y=−x∣x∣−5∣x∣−4x. Определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений  m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Рассмотрим задачу по шагам. Задача: Построить график функции: \[ y = -x|x| - 5|x| - 4x \] и определить, для каких значений параметра \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки. --- ### Шаг 1: Анализ функции Обратим внимание, что в функции присутствуют выражения с абсолютными значениями: \( |x| \). Рассмотрим характеристику функции на двух промежутках: - Для \( x \ge 0 \): \( |x| = x \) - Для \( x < 0 \): \( |x| = -x \) ### Шаг 2: Выразить функцию для \( x \ge 0 \) Если \( x \ge 0 \): \[ |x| = x \] тогда: \[ y = -x \cdot x - 5 \cdot x - 4x = -x^2 - 5x - 4x = -x^2 - 9x \] Итак, для \( x \ge 0 \): \[ \boxed{ y = -x^2 - 9x } \] --- ### Шаг 3: Выразить функцию для \( x < 0 \) Если \( x < 0 \): \[ |x| = -x \] тогда: \[ y = -x \cdot (-x) - 5 \cdot (-x) - 4x = x^2 + 5x - 4x = x^2 + x \] Итак, для \( x < 0 \): \[ \boxed{ y = x^2 + x } \] --- ### Шаг 4: Образ графика Таким образом, функция состоит из двух частей: \[ \begin{cases} y = -x^2 - 9x, & x \ge 0 \\ y = x^2 + x, & x < 0 \end{cases} \] --- ### Шаг 5: Построение графика Это параболы: - Для \( x \ge 0 \), ветви с вершиной в точке по формуле \( y = -x^2 - 9x \) (убывающая вниз). - Для \( x < 0 \), ветви с вершиной в точке по формуле \( y = x^2 + x \) (восходящая вверх). Проверим точки пересечения двух графиков, чтобы понять, как они соединяются: - В точке \( x=0 \): \[ y = -0^2 - 9 \cdot 0 = 0 \] - Подставляем \( x=0 \) в другую часть (для \( x<0 \), граница): \[ y = 0^2 + 0 = 0 \] Значит, функция непрерывна в точке \( x=0 \), обе части дают \( y=0 \). --- ### Шаг 6: Размеры функции и прямой \( y=m \) Нас интересует, при каких значениях \( m \) прямая \( y=m \) касается графика ровно в 2 точках. График состоит из двух парабол — одна восходящая слева, другая убывающая справа, и они соединены в точке \( (0,0) \). --- ### Шаг 7: Решение для точек пересечения \( y=m \) Для фиксированного \( m \): - На области \( x<0 \): \[ x^2 + x = m \] или: \[ x^2 + x - m = 0 \] - На области \( x\ge 0 \): \[ -x^2 - 9x = m \] или: \[ x^2 + 9x + m = 0 \] --- ### Шаг 8: Картина решения - Каждое уравнение — квадратичное, может иметь 0, 1 или 2 решений. - Нам нужны ровно 2 точки пересечения графика с прямой \( y=m \). Поскольку график состоит из 2 ветвей, чтобы было ровно 2 точки пересечения, необходимо, чтобы: - одна из ветвей имела ровно один корень (касание), - а другая — имела либо два решения, либо тоже касание. или - Каждая ветвь имела по одному решению (по касанию), но в данном случае, при равенстве, касания произойдет в двух точках (их и так равно 2). --- ### Шаг 9: Анализ каждого уравнения #### Для \( x<0 \): \[ x^2 + x - m = 0 \] - Количество решений зависит от дискриминанта: \[ \Delta_1 = 1^2 - 4 \times 1 \times (-m) = 1 + 4m \] - Решения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4m}}{2} \] - Чтобы ветвь пересекалась с \( y=m \), решения должны быть реальными, т.е.: \[ 1 + 4m \ge 0 \Rightarrow m \ge -\frac{1}{4} \] - Также, корни должны быть в области \( x<0 \): - \( x = \frac{-1 - \sqrt{1+4m}}{2} \). Для этого корня \( x<0 \), верно при: \[ \frac{-1 - \sqrt{1+4m}}{2} < 0 \Rightarrow -1 - \sqrt{1+4m} < 0 \Rightarrow \sqrt{1+4m} > -1 \] Этот неравенство всегда верно, так как дискриминант неотрицателен и \(\sqrt{1+4m} \ge 0\). Значит, первый корень всегда отрицателен или ноль. - Второй корень: \[ x = \frac{-1 + \sqrt{1+4m}}{2} \] он будет иметь знак: - Он отрицателен, если \(\sqrt{1+4m} < 1 \Rightarrow 1+4m < 1 \Rightarrow 4m < 0 \Rightarrow m < 0\) - Он положителен при \(m \ge 0\) --- #### Для \( x \ge 0 \): \[ -x^2 - 9x = m \] или \[ x^2 + 9x + m=0 \] - Дискриминант: \[ D_2 = 81 - 4m \] - Решения: \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4m}}{2} \] - Для реальных решений необходимо: \[ 81 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \frac{81}{4} = 20.25 \] - Анализ знаков: - \(\frac{-9 - \sqrt{81 - 4m}}{2}\): Он всегда отрицателен или ноль? Да, так как \(-9 - \sqrt{81 - 4m}\) отрицательно или равно нулю, и деление на 2 сохраняет знак. - \(\frac{-9 + \sqrt{81 - 4m}}{2}\): Может быть положительным или нулем, если \(\sqrt{81 - 4m} > 9\), или равен нулю. --- ### Итог: - Для \( m < 0 \), оба уравнения дают по одному корню — по одному на каждую ветвь, что даёт ровно 2 точки пересечения с линией \( y=m \). - Для \( m=0 \): - \( x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1)=0 \Rightarrow x=0, -1 \). В точке \( x=0 \), пересечение в \( (0,0) \), также и в \( x=-1 \). - Для \( -x^2 - 9x=0 \Rightarrow x(-x-9)=0 \Rightarrow x=0, -9 \). В точке \( x=0 \), совпадение с другой ветвью, итого 1 точка — не подходит под ровно 2 точка. - Для больших \( m > 0 \), у вас наличие 2 решений у одной ветви и 0 у другой — всего может быть 2 или 4 пересечения. - Для \( m=0 \), есть ровно 2 точки, что устраивает. --- ### **Ответ:** - Для всех \( m<0 \), график и прямая \( y=m \) имеют ровно 2 пересечения. - При \( m=0 \), тоже 2 пересечения. - При \( m>0 \), можно иметь 2 или 4 пересечения, зависит от условий дискриминантов, обычно — если одна ветвь даёт два решения и другая — одно или ни одного, то сумма будет более двух или двух, а чтобы было ровно 2, нужно исключить случаи с 4. **Итог — при \( m \le 0 \), состояние ровно 2 точки, иначе — больше.** --- ## Итоговый ответ: **m=м<0 или m=0 — это подходящие значения.** Запишем в порядке возрастания: **-1/4 0** Объяснение: при \( m = -\frac{1}{4} \), дискриминант для уравнения в отрицательной части становится равен нулю, и есть ровно один корень, но нужно уточнить, что граница учитывается по условию — можно, так как в этом случае один корень у уравнения. Но более правильно — для ровно двух точек — это \( m<0 \) и \( m=0 \). **Итоговый ответ:** \[ \boxed{-\frac{1}{4}0} \] --- Если нужно точное число, вывод — для \( m \le 0 \): Ответ: **-1/4 0** --- Если нужен более точный момент — уточняйте!