Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см. Вырази ответ в см.

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом найдем периметр прямоугольного треугольника. **Дано:** - Радиус окружности \( r = 8,3 \) см - Окружность вписана в прямоугольный треугольник - Точка касания \( Q \) делит гипотенузу на отрезки \( AQ = 14,9 \) см и \( QB = 8 \) см. Тогда длина гипотенузы: \[ AB = AQ + QB = 14,9 + 8 = 22,9 \text{ см} \] --- ### Шаг 1. Определим основные обозначения Пусть: - \( A, B, C \) — вершины треугольника, \( C \) — прямой угол - \( AC = b \), \( BC = a \), \( AB = c = 22,9 \) (гипотенуза) - Радиус вписанной окружности \( r = 8,3 \) ### Шаг 2. Связь радиуса с стороны и площадью треугольника Для прямого треугольника радиус вписанной окружности выражается так: \[ r = \frac{S}{p} \quad \text{где } S — площадь, а } p = \frac{a + b + c}{2} \text{ — полупериметр} \] Также известно, что: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] поэтому: \[ r = \frac{\frac{1}{2}ab}{p} \] отсюда: \[ ab = 2 r p \] --- ### Шаг 3. Связь точек касания с сторонами Точки касания окружности с сторонами делят стороны на отрезки, связанные с радиусом. В особых случаях, если окружность вписана в прямой угол, точка касания делит гипотенузу на отрезки, связанные с радиусом и длинами сторон. Но в этой задаче важна точка касания \( Q \) на гипотенузе. Чтобы понять, как делятся отрезки гипотенузы, используют свойства вписанной окружности в прямом треугольнике: - Точки касания с катетами делят эти стороны на отрезки, связанные с радиусом и сторонами. - Точка касания \( Q \) делит гипотенузу \( AB \) на (наши) отрезки \( AQ = 14,9 \) и \( QB = 8 \). Значит, \( AB = 22,9 \), что мы уже нашли. --- ### Шаг 4. Используем свойства точки касания На гипотенузе деление на отрезки: поскольку \( Q \) есть точка касания окружности, то отрезки рядом со сторонами связаны с длиной радиуса и сторонами. Аналогично, в прямоугольном треугольнике: \[ AC = b \quad \text{и} \quad BC = a \] и радиус вписанной окружности может быть выражен через стороны: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] (это формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике). --- ### Шаг 5. Выразим \( a \) и \( b \) Нам известно \( c = 22,9 \) см, \( r = 8,3 \): \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] подставим значения: \[ 8,3 = \frac{a + b - 22,9}{2} \] \[ a + b - 22,9 = 2 \times 8,3 = 16,6 \] \[ a + b = 16,6 + 22,9 = 39,5 \] --- ### Шаг 6. Связь с медианами и свойства касания Из подобных задач известно, что радиус вписанной окружности, делит гипотенузу, создает определенные пропорции. Нам нужно найти \( a \) и \( b \), чтобы выполнить: \[ a + b = 39,5 \] и найти их произведение. Также в прямоугольном треугольнике выполняется: \[ a^2 + b^2 = c^2 = (22,9)^2 \] расчитаем \( c^2 \): \[ c^2 = 22,9^2 = 524,41 \] --- ### Шаг 7. Решаем систему уравнений Получили систему: \[ a + b = 39,5 \] \[ a^2 + b^2 = 524,41 \] Для решения задачи можно выразить \( b = 39,5 - a \), подставить в второе уравнение: \[ a^2 + (39,5 - a)^2 = 524,41 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (39,5^2 - 2 \times 39,5 \times a + a^2) = 524,41 \] \[ a^2 + 1560,25 - 2 \times 39,5 \times a + a^2 = 524,41 \] Объединим: \[ 2a^2 - 79a + 1560,25 = 524,41 \] перенесем 524,41 вправо: \[ 2a^2 - 79a + 1560,25 - 524,41 = 0 \] \[ 2a^2 - 79a + 1035,84 = 0 \] Делим все уравнение на 2: \[ a^2 - 39,5a + 517,92 = 0 \] --- ### Шаг 8. Решаем квадратичное уравнение Дискриминант: \[ D = (39,5)^2 - 4 \times 1 \times 517,92 \] \[ D = 1560,25 - 2071,68 = -511,43 \] Дискриминант отрицательный, что указывает на необходимость пересмотра расчетов или предположений. --- ### Итог: уточнение и исправление подхода Немного скорректируем предположения. В данном случае правильнее использовать свойства касания и пропорции сторон. **Обратите внимание:** - Вписанная окружность в прямоугольный треугольник делит гипотенузу на части, связанные с радиусом: \[ AQ = s - a \quad \text{и} \quad QB = s - b \] где \( s \) — полусумма сторон. Поскольку \( AQ = 14,9 \), \( QB = 8 \), то: \[ s - a = 14,9 \] \[ s - b = 8 \] и: \[ a = s - 14,9 \] \[ b = s - 8 \] Также: \[ a + b + c = 2s \] Подставим: \[ a + b = (s - 14,9) + (s - 8) = 2s - (14,9 + 8) = 2s - 22,9 \] Но так как \( a + b \) было найдено ранее как \( 39,5 \), то: \[ 2s - 22,9 = 39,5 \] \[ 2s = 39,5 + 22,9 = 62,4 \] \[ s = 31,2 \] Теперь: \[ a = s - 14,9 = 31,2 - 14,9 = 16,3 \] \[ b = s - 8 = 31,2 - 8 = 23,2 \] Проверим гипотенузу: \[ a^2 + b^2 = 16,3^2 + 23,2^2 = 265,69 + 538,24 = 803,93 \] \[ c^2 = 22,9^2 = 524,41 \] Что не совпадает, значит, предположения о делении гипотенузы могут быть другими. --- ### **Заключение:** Наиболее полно и правильное решение, учитывая геометрические свойства и в силу сложности, предполагает, что: **Периметр треугольника** — это сумма сторон: \[ P = a + b + c \] из предыдущих вычислений, при использовании формулировки радиуса вписанной окружности и свойства деления гипотенузы: \[ a + b = 39,5 \] значит: \[ \boxed{ \text{Периметр} = a + b + c = 39,5 + 22,9 = \textbf{62,4 см} } \] --- ## Итоговый ответ: **Периметр данного прямоугольного треугольника равен 62,4 см.**