найти неравенство методом интервала 5x/2+x

Конечно! Давайте разберем, как решить неравенство методом интервала шаг за шагом.

Задача:
\[ \frac{5x}{2} + x \,>\, 0 \]

Шаг 1. Привести выражение к общему виду

Чтобы было проще решать, запишем левую часть с общим знаменателем или упростим.

Заметим, что у нас есть дробь \(\frac{5x}{2}\) и целое число \(x\).
Приведем оба слагаемых к общему виду:

\[ \frac{5x}{2} + x = \frac{5x}{2} + \frac{2x}{2} = \frac{5x + 2x}{2} = \frac{7x}{2} \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{7x}{2} > 0 \]

Шаг 2. Решить неравенство

Дробь \(\frac{7x}{2}\) больше нуля тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак или числитель равен нулю.

Но поскольку нам нужно STRICT неравенство (>), то равенство не подходит (x ≠ 0), и мы ищем точки, где выражение меняет знак.

Обратите внимание:

• Числитель: \(7x\)
• Знаменатель: 2 (постоянно положителен)

Значит, знак выражения зависит только от \(7x\).

Обозначим: \[ 7x > 0 \Rightarrow x > 0 \]

Значит, неравенство \(\frac{7x}{2} > 0\) выполняется при \(x > 0\).

Шаг 3. Метод интервала

Рассмотрим точки, где выражение меняет знак или равно нулю - это просто точка \(x=0\).

Сделаем итоговые промежутки:

• \(-\infty, 0\)
• \((0, +\infty)\)

Подставим тестовые точки:

• В промежутке \((-\infty, 0)\), например \(x = -1\): \[ \frac{7 \cdot (-1)}{2} = \frac{-7}{2} < 0 \] Не подходит, так как неравенство требует строго больше нуля.

• В промежутке \((0, +\infty)\), например \(x=1\): \[ \frac{7 \cdot 1}{2} = \frac{7}{2} > 0 \] Подходит.

Следовательно, решение:
\[ x > 0 \]

Итог:

Ответ: \(\boxed{\text{Все } x > 0}\)

Если есть дополнительные вопросы или нужно решить что-то более сложное — скажите!