Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события M «на второй кости выпало больше двух очков» и N «сумма очков равна семи»? Ответ объясните.
Рассмотрим два события:
- М: «На второй кости выпало больше двух очков»
- N: «Сумма очков обеих костей равна семи»
Пояснение:
- Определим вероятности каждого события:
- Обе кости — игрушечные стандартные шестигранные кости, числа на которых от 1 до 6.
Событие М: Выпало больше двух очков на второй кости.
- На второй кости могут быть очки: 3, 4, 5, 6
- Вероятность этого: \( P(M) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
Событие N: Сумма очков двух костей равна 7.
- Возможные пары для суммы 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
- Всего таких пар: 6
- Общее число возможных исходов при двух бросках: 36 (6 вариантов на первой кости × 6 на второй)
- Следовательно, \( P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)
Вероятность обеих событий одновременно \( P(M \cap N) \):
Нам нужны события, при которых сумма равна 7 и на второй кости выпало больше двух очков.
- Посмотрим на пары, сумма которых равна 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Из них выбираем те, где на второй кости — больше двух очков:
- (1,6): второй — 6 (>2), подходит
- (2,5): второй — 5 (>2), подходит
- (3,4): второй — 4 (>2), подходит
- (4,3): второй — 3 (>2), подходит
- (5,2): второй — 2 (не больше 2), не подходит
- (6,1): второй — 1 (не больше 2), не подходит
Итого — 4 исхода: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3)
Вероятность \( P(M \cap N) \):
\[ P(M \cap N) = \frac{число подходящих исходов}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]
- Проверка независимости:
Два события \( M \) и \( N \) — независимы, если:
\[ P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \]
Подставим значения:
\[ P(M) \times P(N) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]
Итак:
\[ P(M \cap N) = \frac{1}{9} = P(M) \times P(N) \]
Вывод:
Эти события являются независимыми, так как вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей каждого по отдельности.
