Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 414 больше первоначального. Найдите наибольшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Давайте решим задачу по шагам. ## Шаг 1. Обозначим переменные Пусть первоначальное число — это трехзначное число. Обозначим его цифры так: - \( a \) — сотни, - \( b \) — десятки, - \( c \) — единицы. Тогда число можно записать как: \[ N = 100a + 10b + c \] Где \( a \neq 0 \), так как число трехзначное. ## Шаг 2. Запишем условие задачи При перестановке последней цифры \( c \) в начало числа получается новое число: \[ C = 100c + 10a + b \] По условию, это новое число на 414 больше первоначального: \[ C = N + 414 \] Подставим выражения для \( C \) и \( N \): \[ 100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 414 \] ## Шаг 3. Упростим уравнение Перенесем все в одну сторону: \[ 100c + 10a + b - 100a - 10b - c = 414 \] Объединим подобные члены: \[ (100c - c) + (10a - 100a) + (b - 10b) = 414 \] \[ 99c - 90a - 9b = 414 \] Разделим всё на 9 для упрощения: \[ 11c - 10a - b = 46 \] Вот наше основное уравнение: \[ 11c - 10a - b = 46 \] ## Шаг 4. Ограничения на цифры Цифры \( a, b, c \) — от 0 до 9, при этом: - \( a \neq 0 \), так как число трехзначное. Значит: \[ a \in \{1,2,\dots,9\} \] \[ b, c \in \{0,1,\dots,9\} \] ## Шаг 5. Поиск максимального исходного числа Нам нужно найти **наибольшее исходное число** \( N = 100a + 10b + c \), такое, что выполняется уравнение: \[ 11c - 10a - b = 46 \] и при этом \( N \) максимально. Это означает, что: - Нужно выбрать \( a \) как можно больше, потому что оно влияет на старшие разряды. ## Шаг 6. Перебор вариантов для \( a \) Начнем с максимальных значений \( a \): ### Для \( a=9 \): Подставим в уравнение: \[ 11c - 10 \times 9 - b = 46 \] \[ 11c - 90 - b = 46 \] \[ 11c - b = 136 \] Поскольку \( c \leq 9 \), максимальное \( 11c \) — это \( 11 \times 9 = 99 \). Тогда \[ 99 - b = 136 \quad \Rightarrow \quad -b = 37 \quad \Rightarrow \quad b = -37 \] Это невозможно. Значит, для \( a=9 \) решений нет. ### Для \( a=8 \): \[ 11c - 80 - b = 46 \] \[ 11c - b = 126 \] Максимально \( 11c = 99 \), тогда: \[ 99 - b = 126 \quad \Rightarrow \quad -b = 27 \quad \Rightarrow \quad b = -27 \] Нет решений. ### Для \( a=7 \): \[ 11c - 70 - b = 46 \] \[ 11c - b = 116 \] Максимально \( 11c = 99 \): \[ 99 - b = 116 \quad \Rightarrow \quad -b = 17 \quad \Rightarrow \quad b = -17 \] Нет решений. ### Для \( a=6 \): \[ 11c - 60 - b = 46 \] \[ 11c - b = 106 \] Максимум \( 11c = 99 \): \[ 99 - b = 106 \quad \Rightarrow \quad -b=7 \quad \Rightarrow \quad b=-7 \] Нет решений. ### Для \( a=5 \): \[ 11c - 50 - b = 46 \] \[ 11c - b = 96 \] Максимум \( 11c=99 \): \[ 99 - b=96 \quad \Rightarrow \quad -b=-3 \quad \Rightarrow \quad b=3 \] Цифра \( b=3 \) допустима. Проверим \( c \): - \( 11c \leq 99 \), - \( 11c=96 \), - \( c = \frac{96}{11} \approx 8.727 \), не целое, значит \( c \) не целое, а мы ищем целое. Следующий меньший \( 11c \), это 88, потому что 77 и т. д. (по убыванию). Пробуем \( 11c=88 \): \[ 88 - b=96 \quad \Rightarrow \quad b= -8 \] Недопустимо (b должно быть неотрицательной). Следующий \( 11c=99\), уже проверяли, он превысил 96. Значит, также не подходит. Следовательно, решений для \( a=5 \) нет. ### Для \( a=4 \): \[ 11c - 40 - b=46 \] \[ 11c - b=86 \] Максимум \( 11c=99 \): - \( 99 - b=86 \Rightarrow b=13 \), недопустимо, так как \( b \leq 9 \). Меньшие \( 11c \): - 88: \(88 - b=86 \Rightarrow b=2 \), допустимо. Проверим \( c=8 \): - \( c=8 \), \( 11 \times 8=88 \), - \( b=2 \). Цифры допустимы? Да: \[ a=4, \quad b=2, \quad c=8 \] Тогда исходное число: \[ N= 100 \times 4 + 10 \times 2 + 8 = 400 + 20 +8= 428 \] ## Проверка условия: Перестановка последней цифры \( 8 \) в начало: \[ C= 100 \times 8 + 10 \times 4 + 2= 800 + 40 + 2= 842 \] Проверим разницу: \[ 842 - 428= 414 \] совпадает с условием задачи! --- **Значит, исходное число — 428.** --- ## Итог: - Находим максимальное возможное исходное число, соответствующее уравнению, - Оно равно **428**. ## **Ответ:** **Наибольшее исходное число — 428**.