Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 414 больше первоначального. Найдите наибольшее первоначальное число, обладающее таким…

Давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть первоначальное число — это трехзначное число. Обозначим его цифры так:

• \( a \) — сотни,
• \( b \) — десятки,
• \( c \) — единицы.

Тогда число можно записать как:

\[ N = 100a + 10b + c \]

Где \( a \neq 0 \), так как число трехзначное.

Шаг 2. Запишем условие задачи

При перестановке последней цифры \( c \) в начало числа получается новое число:

\[ C = 100c + 10a + b \]

По условию, это новое число на 414 больше первоначального:

\[ C = N + 414 \]

Подставим выражения для \( C \) и \( N \):

\[ 100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 414 \]

Шаг 3. Упростим уравнение

Перенесем все в одну сторону:

\[ 100c + 10a + b - 100a - 10b - c = 414 \]

Объединим подобные члены:

\[ (100c - c) + (10a - 100a) + (b - 10b) = 414 \]

\[ 99c - 90a - 9b = 414 \]

Разделим всё на 9 для упрощения:

\[ 11c - 10a - b = 46 \]

Вот наше основное уравнение:

\[ 11c - 10a - b = 46 \]

Шаг 4. Ограничения на цифры

Цифры \( a, b, c \) — от 0 до 9, при этом:

• \( a \neq 0 \), так как число трехзначное.

Значит:

\[ a \in \{1,2,\dots,9\} \] \[ b, c \in \{0,1,\dots,9\} \]

Шаг 5. Поиск максимального исходного числа

Нам нужно найти наибольшее исходное число \( N = 100a + 10b + c \), такое, что выполняется уравнение:

\[ 11c - 10a - b = 46 \]

и при этом \( N \) максимально.

Это означает, что:

• Нужно выбрать \( a \) как можно больше, потому что оно влияет на старшие разряды.

Шаг 6. Перебор вариантов для \( a \)

Начнем с максимальных значений \( a \):

Для \( a=9 \):

Подставим в уравнение:

\[ 11c - 10 \times 9 - b = 46 \] \[ 11c - 90 - b = 46 \] \[ 11c - b = 136 \]

Поскольку \( c \leq 9 \), максимальное \( 11c \) — это \( 11 \times 9 = 99 \). Тогда

\[ 99 - b = 136 \quad \Rightarrow \quad -b = 37 \quad \Rightarrow \quad b = -37 \]

Это невозможно. Значит, для \( a=9 \) решений нет.

Для \( a=8 \):

\[ 11c - 80 - b = 46 \] \[ 11c - b = 126 \] Максимально \( 11c = 99 \), тогда:

\[ 99 - b = 126 \quad \Rightarrow \quad -b = 27 \quad \Rightarrow \quad b = -27 \]

Нет решений.

Для \( a=7 \):

\[ 11c - 70 - b = 46 \] \[ 11c - b = 116 \]

Максимально \( 11c = 99 \):

\[ 99 - b = 116 \quad \Rightarrow \quad -b = 17 \quad \Rightarrow \quad b = -17 \]

Нет решений.

Для \( a=6 \):

\[ 11c - 60 - b = 46 \] \[ 11c - b = 106 \]

Максимум \( 11c = 99 \):

\[ 99 - b = 106 \quad \Rightarrow \quad -b=7 \quad \Rightarrow \quad b=-7 \]

Нет решений.

Для \( a=5 \):

\[ 11c - 50 - b = 46 \] \[ 11c - b = 96 \]

Максимум \( 11c=99 \):

\[ 99 - b=96 \quad \Rightarrow \quad -b=-3 \quad \Rightarrow \quad b=3 \]

Цифра \( b=3 \) допустима.

Проверим \( c \):

• \( 11c \leq 99 \),
• \( 11c=96 \),
• \( c = \frac{96}{11} \approx 8.727 \), не целое, значит \( c \) не целое, а мы ищем целое.

Следующий меньший \( 11c \), это 88, потому что 77 и т. д. (по убыванию).

Пробуем \( 11c=88 \):

\[ 88 - b=96 \quad \Rightarrow \quad b= -8 \]

Недопустимо (b должно быть неотрицательной).

Следующий \( 11c=99\), уже проверяли, он превысил 96. Значит, также не подходит.

Следовательно, решений для \( a=5 \) нет.

Для \( a=4 \):

\[ 11c - 40 - b=46 \] \[ 11c - b=86 \]

Максимум \( 11c=99 \):

• \( 99 - b=86 \Rightarrow b=13 \), недопустимо, так как \( b \leq 9 \).

Меньшие \( 11c \):

• 88: \(88 - b=86 \Rightarrow b=2 \), допустимо.

Проверим \( c=8 \):

• \( c=8 \), \( 11 \times 8=88 \),
• \( b=2 \).

Цифры допустимы? Да:

\[ a=4, \quad b=2, \quad c=8 \]

Тогда исходное число:

\[ N= 100 \times 4 + 10 \times 2 + 8 = 400 + 20 +8= 428 \]

Проверка условия:

Перестановка последней цифры \( 8 \) в начало:

\[ C= 100 \times 8 + 10 \times 4 + 2= 800 + 40 + 2= 842 \]

Проверим разницу:

\[ 842 - 428= 414 \]

совпадает с условием задачи!

---

Значит, исходное число — 428.

---

Итог:

• Находим максимальное возможное исходное число, соответствующее уравнению,
• Оно равно 428.

Ответ:

Наибольшее исходное число — 428.