Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг.
Задано:
[ 12^x = 3 ]
Нам нужно найти значение выражения:
[ 12^{2x - 1} ]
Шаг 1: Найти ( x )
Известно, что
[ 12^x = 3 ]
Можно выразить ( x ) через логарифмы, например, по основанию 12:
[ x = \log_{12} 3 ]
Но для упрощения лучше перейти к логарифмам по одному основанию для удобства. Возьмем логарифм по основанию 10 (или по основанию e, главное — выбрать одинаковое основание):
[ \log_{10} (12^x) = \log_{10} 3 ]
Используем свойство логарифмов:
[ x \cdot \log_{10} 12 = \log_{10} 3 ]
Отсюда:
[ x = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 12} ]
Шаг 2: Выразить искомое выражение
Нам нужно найти:
[ 12^{2x - 1} ]
Запишем это, используя свойства степени:
[ 12^{2x - 1} = 12^{2x} \div 12^{1} ]
Или:
[ 12^{2x - 1} = \frac{12^{2x}}{12} ]
Теперь нужно упростить ( 12^{2x} ).
Шаг 3: Упростить ( 12^{2x} )
Используем:
[ 12^{2x} = (12^x)^2 ]
Но известно, что:
[ 12^x = 3 ]
Следовательно:
[ 12^{2x} = 3^2 = 9 ]
Шаг 4: Итоговое решение
Подставим обратно:
[ 12^{2x - 1} = \frac{12^{2x}}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} ]
Ответ:
[
\boxed{\frac{3}{4}}
]
Если нужно более подробное объяснение или есть вопросы — скажи!
