В треугольнике AC=6√2; BC=4 угол C=135°. Найти AB

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап. **Исходные данные:** - \( AC = 6\sqrt{2} \) - \( BC = 4 \) - \( \angle C = 135^\circ \) - Нужно найти \( AB \) --- ### Шаг 1. Размещение условий и построение схемы Рассмотрим треугольник \( ABC \), где точка \( C \) — вершина угла, а стороны: - \( AC \) — от \( A \) до \( C \), - \( BC \) — от \( B \) до \( C \), - \( AB \) — от \( A \) до \( B \) — ищем. Обозначим: - \( A \) — точка слева, - \( B \) — справа, - \( C \) — вершина, в которой угол \( \angle C = 135^\circ \). --- ### Шаг 2. Построение вспомогательного рисунка - Пусть точка \( C \) — центр, и из нее идут в стороны стороны \( AC \) и \( BC \). - Можно представить: \( \angle C = 135^\circ \), это угол между сторонами \( AC \) и \( BC \). --- ### Шаг 3. Введение координат для сторон Обозначим: - точку \( C \) как начало координат: \( C(0,0) \), - сторону \( AC \) расположим, например, вдоль оси x, поскольку длина \( AC \) — \( 6\sqrt{2} \). Тогда: - \( A \) имеет координаты \( (6\sqrt{2}, 0) \). Следовательно, сторона \( AC \) — это от \( C(0,0) \) до \( A(6\sqrt{2}, 0) \). --- ### Шаг 4. Определение координат точки \( B \) Точка \( B \) находится так, чтобы: - расстояние \( BC = 4 \), - угол \( \angle C = 135^\circ \) — это угол между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \). Пусть \( \vec{CA} \) у нас вдоль оси x: \( \vec{CA} = (6\sqrt{2}, 0) \). Теперь определим координаты \( B \): - Так как угол \( \angle C \) равен 135°, то вектор \( \vec{CB} \) образует с \( \vec{CA} \) угол 135°. - Вектор \( \vec{CB} \) имеет длину 4, и по условию, он образует с вектором \( \vec{CA} \) угол 135°. Воспользуемся формулой для координат: \[ \vec{CB} = \text{длина} \times (\cos \theta, \sin \theta), \] где угол \(\theta\) — угол между вектором \( \vec{CA} \) и вектором \( \vec{CB} \). Поскольку \( \vec{CA} \ направлен вдоль оси x, то, чтобы получить \( \vec{CB} \), повернем его на 135° от оси x. Координаты \( \vec{CB} \): \[ (4 \cos 135^\circ, 4 \sin 135^\circ). \] Вычислим: - \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), - \( \sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Тогда: \[ \vec{CB} = \left(4 \times -\frac{\sqrt{2}}{2}, 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}). \] Координаты точки \( B \): \[ B = C + \vec{CB} = (0,0) + (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) = (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}). \] --- ### Шаг 5. Находим сторону \( AB \) Теперь у нас есть координаты: - \( A(6\sqrt{2}, 0) \), - \( B(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \). Расстояние \( AB \): \[ AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}. \] Подставляем значения: \[ x_A = 6\sqrt{2}, \quad y_A = 0, \] \[ x_B = -2\sqrt{2}, \quad y_B = 2\sqrt{2}. \] Вычислим разности: \[ x_A - x_B = 6\sqrt{2} - (-2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}, \] \[ y_A - y_B = 0 - 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2}. \] Теперь: \[ AB = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2}. \] Вычислим каждое: \[ (8\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128, \] \[ (-2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8. \] Общий результат: \[ AB = \sqrt{128 + 8} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{AB = 2\sqrt{34}}. \] Это длина стороны \( AB \). --- Если есть дополнительные вопросы или нужно более глубокое объяснение — спрашивайте!