В окружности с радиусом 6 см проведён диаметр и на нем отмеченная точка А на расстоянии 3 см от центра найти радиус окружности которой касается диаметров в точке А изнутри касается первой окружности

Давайте разберём задачу пошагово и подробно. **Дано:** - радиус первой окружности \( R = 6\,\text{см} \) - проведён диагональный диаметр (назовём его \( D \)) - на этом диаметре отмечена точка \( A \), которая находится на расстоянии 3 см от центра окружности \( O \) (то есть \( OA = 3\,\text{см} \)) **Задача:** Найти радиус окружности, которая: 1. касается внутренне первой окружности (радиуса \( R = 6\,\text{см} \)) 2. касается диаметра (линии \( D \)) в точке \( A \) --- ### Шаг 1: Что знаем и что ищем - Первая окружность с центром \( O \) и радиусом \( R=6\,\text{см} \) - Точка \( A \) на диаметре, расстояние от центра \( O \) до точки \( A \) равно \( 3\,\text{см} \) - Вторая окружность, радиус которой нужно найти, она: - касается первой изнутри - касается линии, по которой лежит диаметр, именно в точке \( A \) --- ### Шаг 2: Координатное представление Обозначим центр первой окружности как точку \( O \) с координатами \( (0,0) \). Диаметр — это отрезок, проходящий через \( O \). Пусть диаметр лежит вдоль оси \( x \), тогда: - Концы диаметра: \( (-6,0) \) и \( (6,0) \) - Точка \( A \) находится на этом диаметре, на расстоянии 3 см от \( O \): - \( A \) — это точка \( (3,0) \) --- ### Шаг 3: Описание искомой окружности Пусть искомая окружность имеет - центр \( C \) с координатами \( (x_c, y_c) \) - радиус \( r \) Она касается первой окружности внутренне, то есть: \[ \text{Расстояние между центрами} = R - r = 6 - r \] Также окружность касается линии диаметра в точке \( A = (3,0) \). Это условие: - радиус окружности \( r \) — это расстояние от \( C \) до точки касания \( A \): \[ |C A| = r \] Поскольку касание происходит в точке \( A \), это значит, что центр \( C \) лежит на окружности с радиусом \( r \) вокруг \( A \). То есть: \[ \sqrt{(x_c - 3)^2 + (y_c)^2} = r \] --- ### Шаг 4: Условия касания внутри первой окружности - Центр \( C \) и радиус \( r \) удовлетворяют: \[ |O C| = 6 - r \] где \( O = (0,0) \), \[ \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = 6 - r \] --- ### Шаг 5: Решение системы уравнений Итак, имеем систему: \[ \begin{cases} \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = 6 - r \quad (1) \\ \sqrt{(x_c - 3)^2 + y_c^2} = r \quad (2) \end{cases} \] Из уравнения (1) возьмём квадрат: \[ x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] Из уравнения (2): \[ (x_c - 3)^2 + y_c^2 = r^2 \] Вычитая (2) из (1): \[ x_c^2 + y_c^2 - [(x_c - 3)^2 + y_c^2] = (6 - r)^2 - r^2 \] Раскроем скобки слева и упростим: \[ x_c^2 - (x_c^2 - 6x_c + 9) = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ x_c^2 - x_c^2 + 6x_c - 9 = (6 - r)^2 - r^2 \] Левая часть: \[ 6x_c - 9 \] Правая часть: \[ (6 - r)^2 - r^2 = (36 - 12r + r^2) - r^2 = 36 - 12r \] Итак, получаем: \[ 6x_c - 9 = 36 - 12r \] Отсюда: \[ 6x_c = 45 - 12r \] \[ x_c = \frac{45 - 12r}{6} = 7.5 - 2r \] --- ### Шаг 6: Использование уравнения для определения \( y_c \) Подставим \( x_c \) в уравнение (1): \[ x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] \[ (7.5 - 2r)^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] Раскроем квадраты: \[ (7.5)^2 - 2 \times 7.5 \times 2r + (2r)^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \] \[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \] Перенесем все в левую часть: \[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 - 36 + 12r - r^2 = 0 \] Объединим подобные: \[ (56.25 - 36) + (-30r + 12r) + (4r^2 - r^2) + y_c^2 = 0 \] \[ 20.25 - 18r + 3r^2 + y_c^2 = 0 \] Выразим \( y_c^2 \): \[ y_c^2 = -20.25 + 18r - 3r^2 \] --- ### Шаг 7: Условие неотрицательности \( y_c^2 \) Так как \( y_c^2 \geq 0 \): \[ -20.25 + 18r - 3r^2 \geq 0 \] Перенесём всё в левую сторону: \[ 3r^2 - 18r + 20.25 \leq 0 \] Делим всё на 3 для удобства: \[ r^2 - 6r + 6.75 \leq 0 \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 6.75 = 36 - 27 = 9 \] Корни уравнения: \[ r = \frac{6 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{6 \pm 3}{2} \] - Первый корень: \( r = \frac{6 +3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) - Второй корень: \( r=\frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \) По условию квадратичная функция \( r^2 - 6r + 6.75 \) — в форме параболлы, со стороны вверх, потому неравенство \( \leq 0 \) выполняется на промежутке между корнями: \[ 1.5 \leq r \leq 4.5 \] --- ### **Ответ:** Радиус искомой окружности находится в диапазоне от **1.5 см до 4.5 см**. --- ### **Дополнительное уточнение:** На практике, чтобы получить точное число радиуса, нужно знать, какое из значений лучше подходит под условие задачи. Самый рациональный ответ — **радиус окружности равен 1.5 см или 4.5 см**, в зависимости от расположения центров. --- Если нужно, я помогу найти точное положение центра или проверить правильность выбора радиуса!