В окружности с радиусом 6 см проведён диаметр и на нем отмеченная точка А на расстоянии 3 см от центра найти радиус окружности которой касается диаметров в точке А изнутри…

Давайте разберём задачу пошагово и подробно.

Дано:

• радиус первой окружности \( R = 6\,\text{см} \)
• проведён диагональный диаметр (назовём его \( D \))
• на этом диаметре отмечена точка \( A \), которая находится на расстоянии 3 см от центра окружности \( O \) (то есть \( OA = 3\,\text{см} \))

Задача:
Найти радиус окружности, которая:

1. касается внутренне первой окружности (радиуса \( R = 6\,\text{см} \))
2. касается диаметра (линии \( D \)) в точке \( A \)

---

Шаг 1: Что знаем и что ищем

• Первая окружность с центром \( O \) и радиусом \( R=6\,\text{см} \)
• Точка \( A \) на диаметре, расстояние от центра \( O \) до точки \( A \) равно \( 3\,\text{см} \)
• Вторая окружность, радиус которой нужно найти, она:
  • касается первой изнутри
  • касается линии, по которой лежит диаметр, именно в точке \( A \)

---

Шаг 2: Координатное представление

Обозначим центр первой окружности как точку \( O \) с координатами \( (0,0) \).
Диаметр — это отрезок, проходящий через \( O \). Пусть диаметр лежит вдоль оси \( x \), тогда:

• Концы диаметра: \( (-6,0) \) и \( (6,0) \)
• Точка \( A \) находится на этом диаметре, на расстоянии 3 см от \( O \):
  • \( A \) — это точка \( (3,0) \)

---

Шаг 3: Описание искомой окружности

Пусть искомая окружность имеет

• центр \( C \) с координатами \( (x_c, y_c) \)
• радиус \( r \)

Она касается первой окружности внутренне, то есть:
\[ \text{Расстояние между центрами} = R - r = 6 - r \]

Также окружность касается линии диаметра в точке \( A = (3,0) \).
Это условие:

• радиус окружности \( r \) — это расстояние от \( C \) до точки касания \( A \):
  \[ |C A| = r \]

Поскольку касание происходит в точке \( A \), это значит, что центр \( C \) лежит на окружности с радиусом \( r \) вокруг \( A \).
То есть:
\[ \sqrt{(x_c - 3)^2 + (y_c)^2} = r \]

---

Шаг 4: Условия касания внутри первой окружности

• Центр \( C \) и радиус \( r \) удовлетворяют:

\[ |O C| = 6 - r \]

где \( O = (0,0) \),

\[ \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = 6 - r \]

---

Шаг 5: Решение системы уравнений

Итак, имеем систему:
\[ \begin{cases} \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = 6 - r \quad (1) \\ \sqrt{(x_c - 3)^2 + y_c^2} = r \quad (2) \end{cases} \]

Из уравнения (1) возьмём квадрат:
\[ x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \]

Из уравнения (2):
\[ (x_c - 3)^2 + y_c^2 = r^2 \]

Вычитая (2) из (1):
\[ x_c^2 + y_c^2 - [(x_c - 3)^2 + y_c^2] = (6 - r)^2 - r^2 \]

Раскроем скобки слева и упростим:
\[ x_c^2 - (x_c^2 - 6x_c + 9) = (6 - r)^2 - r^2 \]

\[ x_c^2 - x_c^2 + 6x_c - 9 = (6 - r)^2 - r^2 \]

Левая часть:
\[ 6x_c - 9 \]

Правая часть:
\[ (6 - r)^2 - r^2 = (36 - 12r + r^2) - r^2 = 36 - 12r \]

Итак, получаем:
\[ 6x_c - 9 = 36 - 12r \]

Отсюда:
\[ 6x_c = 45 - 12r \]

\[ x_c = \frac{45 - 12r}{6} = 7.5 - 2r \]

---

Шаг 6: Использование уравнения для определения \( y_c \)

Подставим \( x_c \) в уравнение (1):

\[ x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \]

\[ (7.5 - 2r)^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \]

Раскроем квадраты:

\[ (7.5)^2 - 2 \times 7.5 \times 2r + (2r)^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \]

\[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 - 36 + 12r - r^2 = 0 \]

Объединим подобные:

\[ (56.25 - 36) + (-30r + 12r) + (4r^2 - r^2) + y_c^2 = 0 \]

\[ 20.25 - 18r + 3r^2 + y_c^2 = 0 \]

Выразим \( y_c^2 \):

\[ y_c^2 = -20.25 + 18r - 3r^2 \]

---

Шаг 7: Условие неотрицательности \( y_c^2 \)

Так как \( y_c^2 \geq 0 \):

\[ -20.25 + 18r - 3r^2 \geq 0 \]

Перенесём всё в левую сторону:

\[ 3r^2 - 18r + 20.25 \leq 0 \]

Делим всё на 3 для удобства:

\[ r^2 - 6r + 6.75 \leq 0 \]

Рассчитаем дискриминант:
\[ D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 6.75 = 36 - 27 = 9 \]

Корни уравнения:

\[ r = \frac{6 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{6 \pm 3}{2} \]

• Первый корень: \( r = \frac{6 +3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \)
• Второй корень: \( r=\frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

По условию квадратичная функция \( r^2 - 6r + 6.75 \) — в форме параболлы, со стороны вверх, потому неравенство \( \leq 0 \) выполняется на промежутке между корнями:

\[ 1.5 \leq r \leq 4.5 \]

---

Ответ:

Радиус искомой окружности находится в диапазоне от 1.5 см до 4.5 см.

---

Дополнительное уточнение:

На практике, чтобы получить точное число радиуса, нужно знать, какое из значений лучше подходит под условие задачи. Самый рациональный ответ — радиус окружности равен 1.5 см или 4.5 см, в зависимости от расположения центров.

---

Если нужно, я помогу найти точное положение центра или проверить правильность выбора радиуса!