3х+9/2х-8 <0 это дробь

Давайте решим неравенство: \[ \frac{3x + 9}{2x - 8} < 0 \] ### Шаг 1: Определить области определения Дробь существует и равна нулю только, когда знаменатель не равен нулю. Поэтому, необходимо исключить значение, при котором знаменатель равен нулю: \[ 2x - 8 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 8 \Rightarrow x \neq 4 \] Область определения: все числа, кроме \(x = 4\). --- ### Шаг 2: Исследовать знак дроби Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разный знак. Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно. **Числитель:** \(3x + 9\) **Знаменатель:** \(2x - 8\) --- ### Шаг 3: Найти нули числителя и знаменателя - **Ноль числителя:** \[ 3x + 9 = 0 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3 \] - **Ноль знаменателя:** \(x = 4\) (по условию из п.1) Итак, точки, делящие числовую ось: \[ x = -3, \quad x = 4 \] --- ### Шаг 4: Построение числовой оси и интервалов Область делится на три интервала: 1. \(x < -3\) 2. \(-3 < x < 4\) 3. \(x > 4\) На каждом интервале будем определять знак дроби. --- ### Шаг 5: Определение знака для каждого интервала Рассмотрим знак числителя и знаменателя: - **На интервале \(x < -3\):** - \(3x + 9\): Для \(x < -3\): \[ 3x + 9 \quad \text{отрицательно (так как за границей на меньших значениях)} \quad \Rightarrow \text{отрицательно} \] - \(2x - 8\): Для \(x < 4\), в том числе и \(x < -3\): \[ 2x - 8 \quad \text{отрицательно} \] Итог: дробь \(\frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}}\) — знак положительный. - **На интервале \(-3 < x < 4\):** - \(3x + 9\): Для \(x > -3\): \[ 3x + 9 > 0 \] - \(2x - 8\): Для \(x < 4\): \[ 2x - 8 < 0 \] Итог: положительный разделчик на числителе и отрицательный — дробь отрицательная. - **На интервале \(x > 4\):** - \(3x + 9 > 0\) - \(2x - 8 > 0\) Дробь — положительная. --- ### Шаг 6: Записать искомое решение Нас интересуют **значения**, при которых дробь отрицательна (\(< 0\)). Это происходит **только на интервале \(-3 < x < 4\)**. Исключение: \(x \neq 4\), так как в точке \(x=4\) — знаменатель равен 0. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x \in (-3, 4) } \] Только в этом интервале дробь отрицательна.