3х+9/2х-8 <0 это дробь
Давайте решим неравенство:
\[ \frac{3x + 9}{2x - 8} < 0 \]
Шаг 1: Определить области определения
Дробь существует и равна нулю только, когда знаменатель не равен нулю. Поэтому, необходимо исключить значение, при котором знаменатель равен нулю:
\[ 2x - 8 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 8 \Rightarrow x \neq 4 \]
Область определения: все числа, кроме \(x = 4\).
Шаг 2: Исследовать знак дроби
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разный знак.
Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: \(3x + 9\)
Знаменатель: \(2x - 8\)
Шаг 3: Найти нули числителя и знаменателя
- Ноль числителя:
\[ 3x + 9 = 0 \Rightarrow 3x = -9 \Rightarrow x = -3 \]
- Ноль знаменателя: \(x = 4\) (по условию из п.1)
Итак, точки, делящие числовую ось:
\[ x = -3, \quad x = 4 \]
Шаг 4: Построение числовой оси и интервалов
Область делится на три интервала:
- \(x < -3\)
- \(-3 < x < 4\)
- \(x > 4\)
На каждом интервале будем определять знак дроби.
Шаг 5: Определение знака для каждого интервала
Рассмотрим знак числителя и знаменателя:
На интервале \(x < -3\):
\(3x + 9\):
Для \(x < -3\):
\[ 3x + 9 \quad \text{отрицательно (так как за границей на меньших значениях)} \quad \Rightarrow \text{отрицательно} \]
\(2x - 8\):
Для \(x < 4\), в том числе и \(x < -3\):
\[ 2x - 8 \quad \text{отрицательно} \]
Итог: дробь \(\frac{\text{отрицательное}}{\text{отрицательное}}\) — знак положительный.
На интервале \(-3 < x < 4\):
\(3x + 9\):
Для \(x > -3\):
\[ 3x + 9 > 0 \]
\(2x - 8\):
Для \(x < 4\):
\[ 2x - 8 < 0 \]
Итог: положительный разделчик на числителе и отрицательный — дробь отрицательная.
На интервале \(x > 4\):
\(3x + 9 > 0\)
\(2x - 8 > 0\)
Дробь — положительная.
Шаг 6: Записать искомое решение
Нас интересуют значения, при которых дробь отрицательна (\(< 0\)). Это происходит только на интервале \(-3 < x < 4\).
Исключение: \(x \neq 4\), так как в точке \(x=4\) — знаменатель равен 0.
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-3, 4) } \]
Только в этом интервале дробь отрицательна.
