Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника.

Обозначим стороны треугольника: - \(AC\) — гипотенуза, - \(AB\) — меньший катет, - \(BC\) — больший катет. Дано: один из острых углов равен \(60^\circ\). Пусть этот угол — \(A\) и расположен при стороне \(AB\). Тогда: \[ \angle A = 60^\circ \] В треугольнике \(\triangle ABC\), содержащем прямой угол, сумма острых углов равна \(90^\circ\), так как: \[ \angle B + \angle C = 90^\circ \] Разметим, что угол \(\angle A = 60^\circ\), значит, другой острый угол \(\angle B = 30^\circ\). Обозначим катеты: - \(AB = x\) (меньший катет), - \(BC = y\) (больший катет), - \(AC = c\) (гипотенуза). Используем свойства треугольника: \[ \text{По синусу: } \frac{\text{противолежащий катет}}{\гипотенуза} = \sin(\text{угла}) \] Для угла \(A=60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{c} \] В данном случае, если при \(A\): - \(AB\) — противолежащий катет, тогда: \[ AB = x = c \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] Также известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см: \[ c + x = 42 \] Подставим \(x\): \[ c + c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 42 \] Выделим \(c\): \[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 42 \] Приведем сом внутри скобок к общему знаменателю: \[ 1 = \frac{2}{2} \] Тогда: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \] Итак, \[ c \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 42 \] Найдем \(c\): \[ c = 42 \times \frac{2}{2 + \sqrt{3}} \] Упростим выражение, рационализируя знаменатель: \[ c = 42 \times \frac{2}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 42 \times \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \] В числителе: \[ 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} \] В знаменателе — разность квадратов: \[ (2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \] Поэтому: \[ c = 42 \times (4 - 2\sqrt{3}) = 42 \times 4 - 42 \times 2\sqrt{3} = 168 - 84\sqrt{3} \] Теперь, чтобы найти гипотенузу \(c\), лучше оставить в этом виде или численно приблизить. Численное значение: \[ \sqrt{3} \approx 1,732 \] Тогда: \[ c \approx 168 - 84 \times 1,732 = 168 - 145,488 \approx 22,512 \] Ответ: \[ \boxed{ c \approx 22.5 \text{ см} } \] Проверка: Меньший катет: \[ x = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 22.5 \times \frac{1,732}{2} \approx 22.5 \times 0,866 \approx 19,5 \text{ см} \] Проверка суммы: \[ c + x \approx 22.5 + 19.5 = 42 \text{ см} \] Совпадает с условием. Значит, гипотенуза равна примерно **22.5 см**.