Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найти гипотенузу треугольника.

Обозначим стороны треугольника:

• \(AC\) — гипотенуза,
• \(AB\) — меньший катет,
• \(BC\) — больший катет.

Дано: один из острых углов равен \(60^\circ\). Пусть этот угол — \(A\) и расположен при стороне \(AB\).

Тогда:

\[ \angle A = 60^\circ \]

В треугольнике \(\triangle ABC\), содержащем прямой угол, сумма острых углов равна \(90^\circ\), так как:

\[ \angle B + \angle C = 90^\circ \]

Разметим, что угол \(\angle A = 60^\circ\), значит, другой острый угол \(\angle B = 30^\circ\).

Обозначим катеты:

• \(AB = x\) (меньший катет),
• \(BC = y\) (больший катет),
• \(AC = c\) (гипотенуза).

Используем свойства треугольника:

\[ \text{По синусу: } \frac{\text{противолежащий катет}}{\гипотенуза} = \sin(\text{угла}) \]

Для угла \(A=60^\circ\):

\[ \sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{c} \]

В данном случае, если при \(A\):

• \(AB\) — противолежащий катет,

тогда:

\[ AB = x = c \sin 60^\circ = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Также известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см:

\[ c + x = 42 \]

Подставим \(x\):

\[ c + c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 42 \]

Выделим \(c\):

\[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 42 \]

Приведем сом внутри скобок к общему знаменателю:

\[ 1 = \frac{2}{2} \]

Тогда:

\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]

Итак,

\[ c \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 42 \]

Найдем \(c\):

\[ c = 42 \times \frac{2}{2 + \sqrt{3}} \]

Упростим выражение, рационализируя знаменатель:

\[ c = 42 \times \frac{2}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 42 \times \frac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \]

В числителе:

\[ 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} \]

В знаменателе — разность квадратов:

\[ (2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \]

Поэтому:

\[ c = 42 \times (4 - 2\sqrt{3}) = 42 \times 4 - 42 \times 2\sqrt{3} = 168 - 84\sqrt{3} \]

Теперь, чтобы найти гипотенузу \(c\), лучше оставить в этом виде или численно приблизить.

Численное значение:

\[ \sqrt{3} \approx 1,732 \] Тогда:

\[ c \approx 168 - 84 \times 1,732 = 168 - 145,488 \approx 22,512 \]

Ответ:

\[ \boxed{ c \approx 22.5 \text{ см} } \]

Проверка:

Меньший катет:

\[ x = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 22.5 \times \frac{1,732}{2} \approx 22.5 \times 0,866 \approx 19,5 \text{ см} \]

Проверка суммы:

\[ c + x \approx 22.5 + 19.5 = 42 \text{ см} \]

Совпадает с условием. Значит, гипотенуза равна примерно 22.5 см.