Решить
Давайте решим задачу полностью и подробно.
Задача:
Легковой автомобиль догнал грузовик и через 25 минут был от него на расстоянии 15 км. Какая была скорость грузовика, если скорость легкового автомобиля составляла 56 км/ч?
Шаг 1. Обозначим переменные:
- Скорость грузовика — \( v_g \) (км/ч)
- Скорость легкового автомобиля — 56 км/ч
- Время, за которое легковой автомобиль догнал грузовик — 25 минут = \( \frac{25}{60} \) часа = \( \frac{5}{12} \) часа
Шаг 2. Опеределим, как менялись расстояния
Вначале, сам грузовик и легковой автомобиль начали движение, и за время \( t \) (0 ≤ \( t \) ≤ \( \frac{5}{12} \)) грузовик догонялся с легковой.
Когда автомобиль догнал грузовик через 25 минут, он был на расстоянии 15 км от него.
Это означает, что за это время:
- Легковой автомобиль прошёл путь: \( S_л = 56 \times t \)
- Грузовик прошёл путь: \( S_г = v_g \times t \)
Но важно понять, что в момент, когда автомобиль догнал грузовик, расстояние между ними было 15 км, то есть:
\[ S_{расстояние} = (S_л - S_g) = 15 \, \text{км} \]
Шаг 3. Построение уравнения
Обозначим время, за которое автомобиль догоняет грузовик, как \( t = \frac{5}{12} \) часа.
В начальный момент грузовик был впереди на расстоянии \( S_0 \) (нужно найти или понять, что в условии — изначально грузовик был на расстоянии 15 км или он начал движение одновременно с легковым?).
По условию: "Легковой обогнал грузовик и через 25 минут был от него на расстоянии 15 км" — значит, пока автомобиль не догнал грузовика, он его "догонял", т.е. они начали движется одновременно, а расстояние между ними уменьшалось.
Рассмотрим движения:
- За время \( t \), грузовик прошёл \( v_g \times t \).
- За то же время легковой — \( 56 \times t \).
Расстояние между ними уменьшалось со скоростью: \( 56 - v_g \).
Значит, начальное расстояние между ними — \( S_0 \).
Когда легковая догнала грузовика, расстояние стало 15 км.
Можем записать:
\[ S_0 - (56 - v_g) \times t = 15 \]
Но чтобы это было верно, нужно помнить, что было начальное расстояние — оно равно длине пути, который они прошли за время \( t \). Или, проще: так как грузовик и легковой начали движение одновременно, разница в пройденных путях к моменту догоняния (через \( t \)) — именно 15 км, и скорость разная.
Следует рассуждать так:
За время \( t \) (25 минут), два автомобиля прошли пути:
- Легковая: \( 56 \times t \)
- Грузовая: \( v_g \times t \)
Разница в пройденных путях за это время — 15 км:
\[ 56t - v_g t = 15 \]
или
\[ t (56 - v_g) = 15 \]
Подставим \( t = \frac{5}{12} \):
\[ \frac{5}{12} (56 - v_g) = 15 \]
Теперь решим это уравнение относительно \( v_g \).
Шаг 4. Решение уравнения
\[ \frac{5}{12} (56 - v_g) = 15 \]
Умножим обе части на 12, чтобы избавиться от дроби:
\[ 5 (56 - v_g) = 15 \times 12 \]
\[ 5 (56 - v_g) = 180 \]
Раскроем скобки:
\[ 280 - 5 v_g = 180 \]
Вычтем 180 из обеих частей:
\[ 280 - 180 = 5 v_g \]
\[ 100 = 5 v_g \]
Разделим обе части на 5:
\[ v_g = \frac{100}{5} = 20 \]
Ответ:
Скорость грузовика — 20 км/ч.
Если что-то непонятно или нужно более детальное объяснение, пожалуйста, напишите!
