Реши все задания

Давайте разобьём каждое задание и решим по порядку. --- **Задача 1:** Составить уравнение касательной и нормали к графику y = 1 - x^4 в точке x = 2. **Шаги решения:** 1. Найти координаты точки: подставляем x=2 в функцию. \[ y = 1 - (2)^4 = 1 - 16 = -15 \] Точка: (2, -15). 2. Вычислить производную функции, чтобы найти наклон касательной. \[ y' = \frac{d}{dx}(1 - x^4) = -4x^3 \] 3. Подставим x=2: \[ y'(2) = -4 \times (2)^3 = -4 \times 8 = -32 \] Это наклон касательной. 4. Найти уравнение касательной: Общее уравнение: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( (x_0, y_0) = (2, -15) \), а \( m = -32 \). \[ y - (-15) = -32 (x - 2) \] \[ y + 15 = -32(x - 2) \] \[ y + 15 = -32x + 64 \] \[ y = -32x + 64 - 15 \] \[ y = -32x + 49 \] 5. Уравнение нормали: нормаль перпендикулярна касательной, у неё наклон: \[ m_{norm} = -\frac{1}{m_{кас}} = -\frac{1}{-32} = \frac{1}{32} \] Уравнение нормали: \[ y - y_0 = m_{norm}(x - x_0) \] \[ y + 15 = \frac{1}{32}(x - 2) \] или \[ y = \frac{1}{32}(x - 2) - 15 \] --- **Задача 2:** Закон изменения S = -4t^3 + 36t^2 - 5. Найти максимальную скорость (S' max). **Шаги решения:** 1. Найдём производную S, которая даст скорость: \[ S' = \frac{d}{dt}(-4t^3 +36t^2 - 5) = -12t^2 +72t \] 2. Максимальная скорость достигается в точках экстремума, поэтому найдём критические точки: \[ S' = 0 \] \[ -12t^2 + 72t = 0 \] \[ -12t(t - 6) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{или} \quad t=6 \] 3. Проверяем второй производной для определения характера экстремума: \[ S'' = \frac{d}{dt} S' = -24t + 72 \] - Для t=0: \[ S''(0) = -24*0 + 72 = 72 > 0 \rightarrow \text{минимум} \] - Для t=6: \[ S''(6) = -24*6 + 72 = -144 + 72 = -72 < 0 \rightarrow \text{максимум} \] 4. Значит, максимальная скорость при t=6: \[ S(6) = -4(6)^3 + 36(6)^2 - 5 \] \[ S(6) = -4 \times 216 + 36 \times 36 - 5 \] \[ S(6) = -864 + 1296 - 5 = 427 \] **Ответ:** максимальная скорость равна **427**. --- **Задача 3:** Найти Н / β и Н / δ в уравнении: \[ y = \frac{\alpha^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x \] Из условия: нужно найти Н / β и Н / δ. Предположим, что Н=α, β и δ — это какие-то параметры, возможно, связанные с функцией. Но из исходных данных не ясно, что такое Н, β, δ. Если это — вероятно, просто обозначения, то — необходимы дополнительные пояснения или предположения. --- **Задача 4:** Исследовать и построить график функции: \[ y = -3x^2 + x^3 \] **Шаги:** 1. Найти производную: \[ y' = -6x + 3x^2 \] \[ y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] 2. Критические точки: \[ y' = 0 \Rightarrow x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \] - At x=0: \[ y(0) = 0 \] - At x=2: \[ y(2) = -3(4) + 8 = -12 + 8 = -4 \] 3. Вторая производная: \[ y'' = 6x - 6 \] - В x=0: \( y''= -6 \) — максимум или изгиб вниз. - В x=2: \( y''= 12-6=6 > 0 \) — минимум или изгиб вверх. 4. Точки экстремума: - в x=0, \( y=0 \), это — точка максимум (так как вторая отрицательна). - в x=2, \( y=-4 \) — минимум. --- Если есть дополнительные детали или конкретные вопросы, уточняйте!