Реши все задания

Давайте разобьём каждое задание и решим по порядку.

Задача 1:
Составить уравнение касательной и нормали к графику y = 1 - x^4 в точке x = 2.

Шаги решения:

1. Найти координаты точки: подставляем x=2 в функцию.
   \[ y = 1 - (2)^4 = 1 - 16 = -15 \]
   Точка: (2, -15).

2. Вычислить производную функции, чтобы найти наклон касательной.
   \[ y' = \frac{d}{dx}(1 - x^4) = -4x^3 \]

3. Подставим x=2:
   \[ y'(2) = -4 \times (2)^3 = -4 \times 8 = -32 \]
   Это наклон касательной.

4. Найти уравнение касательной:
   Общее уравнение:
   \[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
   где \( (x_0, y_0) = (2, -15) \), а \( m = -32 \).
   \[ y - (-15) = -32 (x - 2) \]
   \[ y + 15 = -32(x - 2) \]
   \[ y + 15 = -32x + 64 \]
   \[ y = -32x + 64 - 15 \]
   \[ y = -32x + 49 \]

5. Уравнение нормали: нормаль перпендикулярна касательной, у неё наклон:
   \[ m_{norm} = -\frac{1}{m_{кас}} = -\frac{1}{-32} = \frac{1}{32} \]

Уравнение нормали:
\[ y - y_0 = m_{norm}(x - x_0) \]
\[ y + 15 = \frac{1}{32}(x - 2) \]
или
\[ y = \frac{1}{32}(x - 2) - 15 \]

Задача 2:
Закон изменения S = -4t^3 + 36t^2 - 5. Найти максимальную скорость (S' max).

Шаги решения:

1. Найдём производную S, которая даст скорость:
   \[ S' = \frac{d}{dt}(-4t^3 +36t^2 - 5) = -12t^2 +72t \]

2. Максимальная скорость достигается в точках экстремума, поэтому найдём критические точки:
   \[ S' = 0 \]
   \[ -12t^2 + 72t = 0 \]
   \[ -12t(t - 6) = 0 \]
   \[ t = 0 \quad \text{или} \quad t=6 \]

3. Проверяем второй производной для определения характера экстремума:
   \[ S'' = \frac{d}{dt} S' = -24t + 72 \]

• Для t=0:
  \[ S''(0) = -24*0 + 72 = 72 > 0 \rightarrow \text{минимум} \]

• Для t=6:
  \[ S''(6) = -24*6 + 72 = -144 + 72 = -72 < 0 \rightarrow \text{максимум} \]

4. Значит, максимальная скорость при t=6:
   \[ S(6) = -4(6)^3 + 36(6)^2 - 5 \]
   \[ S(6) = -4 \times 216 + 36 \times 36 - 5 \]
   \[ S(6) = -864 + 1296 - 5 = 427 \]

Ответ: максимальная скорость равна 427.

Задача 3:
Найти Н / β и Н / δ в уравнении:
\[ y = \frac{\alpha^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x \]

Из условия: нужно найти Н / β и Н / δ. Предположим, что Н=α, β и δ — это какие-то параметры, возможно, связанные с функцией. Но из исходных данных не ясно, что такое Н, β, δ.
Если это — вероятно, просто обозначения, то — необходимы дополнительные пояснения или предположения.

Задача 4:
Исследовать и построить график функции:
\[ y = -3x^2 + x^3 \]

Шаги:

1. Найти производную:
   \[ y' = -6x + 3x^2 \]
   \[ y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \]

2. Критические точки:
   \[ y' = 0 \Rightarrow x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \]

• At x=0:
  \[ y(0) = 0 \]
• At x=2:
  \[ y(2) = -3(4) + 8 = -12 + 8 = -4 \]

3. Вторая производная:
   \[ y'' = 6x - 6 \]

• В x=0: \( y''= -6 \) — максимум или изгиб вниз.
• В x=2: \( y''= 12-6=6 > 0 \) — минимум или изгиб вверх.

4. Точки экстремума:

• в x=0, \( y=0 \), это — точка максимум (так как вторая отрицательна).
• в x=2, \( y=-4 \) — минимум.

Если есть дополнительные детали или конкретные вопросы, уточняйте!