22. Постройте график функции y= - x ^ 2 - 2x ,x>=-3,\\ 9 x ,x<-3 и определите, при каких значениях т прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно. **Задача:** Построить график функции: \[ y = \begin{cases} - x^2 - 2x, & x \geq -3 \\ 9x, & x < -3 \end{cases} \] а также определить при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках. --- ### Шаг 1: Анализ функции Эта функция — кусочно-заданная, с двумя частями: - Для \( x \geq -3 \): \( y = -x^2 - 2x \) — парабола, ветви которой "направлены вниз", так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный. - Для \( x < -3 \): \( y = 9x \) — простая пологая линия. --- ### Шаг 2: Построение графика #### График для \( x \geq -3 \): - Проверим значения в точке \( x = -3 \): \[ y = -(-3)^2 - 2 \times (-3) = -9 + 6 = -3. \] - Значит, в точке \( x=-3 \) значение функции равно \(-3\). Это точка пересечения двух частей функции (ведь для \( x \to -3^+ \) и \( x \to -3^- \) функция задается разными выражениями, но здесь они совпадают). - Для получения вида параболы посмотрим еще на другие точки справа: - \( x=0 \): \[ y = -0^2 - 2 \times 0 = 0. \] - \( x=-2 \): \[ y= -(-2)^2 - 2 \times (-2) = -4 + 4 = 0. \] - Итак, в точках \( x=0 \) и \( x=-2 \) значение равно 0, и у нас есть вершина параболы. Вершина (максимум, так как ветви вниз) находится в точке: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times -1} = -\frac{-2}{-2} = -1. \] Подставим \( x=-1 \): \[ y= -(-1)^2 - 2 \times (-1) = -1 + 2= 1. \] Итак, вершина параболы — точка \( (-1, 1) \). --- #### График для \( x< -3 \): - Это линия \( y=9x \). В точке \( x=-3 \): \[ y= 9 \times (-3) = -27. \] На участке \( x \to -\infty \), график идет вниз, и вблизи \( x=-3 \), значение — \(-27\). --- ### Шаг 3: Построение графика и области определения Общий график — это: - парабола, начинающаяся в точке \( (-3, -3) \) и затем уходящая вниз с вершиной в \( (-1, 1) \), затем опять убывающая влево и вправо. - по левую сторону — линия, проходящая через точки, например, \( (-3, -27) \), \( (-4, -36) \), и далее по убыванию. --- ### Шаг 4: Определение условий для прямой \( y = m \), которая пересекает график ровно в двух точках Рассмотрим, при каких \( m \): - линия \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком. Пересечения могут происходить на обеих частях функции — на параболе и линии. Это происходит, когда: - \( y=m \) пересекает параболу \( y= -x^2 - 2x \) для \( x \geq -3 \). - и одновременно — пересекает линию \( y=9x \) для \( x < -3 \). --- ### Шаг 5: Решение уравнений для пересечений #### Для части \( x \geq -3 \): \[ - x^2 - 2x = m. \] Перепишем: \[ x^2 + 2x + m=0. \] Количество решений: - Два решения, если дискриминант \( D_1 > 0 \): \[ D_1= (2)^2 - 4 \times 1 \times m = 4 - 4m > 0, \] то есть \[ 4 - 4m > 0 \Rightarrow m < 1. \] - Одно решение (касание) — \( D_1=0 \): \[ 4 - 4m=0 \Rightarrow m=1. \] - Нет решений, если \( D_1<0 \), то \[ m>1. \] Однако, поскольку для \( x \geq -3 \), решения искать только при \( m \leq 1 \). #### Для части \( x < -3 \): \[ 9x = m \Rightarrow x= \frac{m}{9}. \] Это пересечение линии и графика — точка \( x= \frac{m}{9} \), при этом условие \( x < -3 \): \[ \frac{m}{9} < -3 \Rightarrow m < -27. \] --- ### Шаг 6: Анализ условий на \( m \) для 2 пересечений Нам нужно, чтобы прямая \( y=m \) пересекала график **ровно** в двух точках. Обсудим возможные варианты: - **Если \( m>1 \):** - На параболе решений нет (так как дискриминант отрицателен). На линии: \[ x= \frac{m}{9} \] пересекает линию, только если \( \frac{m}{9}<-3 \Rightarrow m<-27 \), что невозможно для \( m>1 \). Значит, только на линии — одно решение. Итого — 1 точка, а нам нужно 2. Не подходит. - **Если \( -27 < m < 1 \):** - На параболе решений два (так как \( D_1>0 \)), что дает 2 точки. - На линии решений: \[ x= \frac{m}{9} \] — потому что \( \frac{m}{9} < -3 \) при \( m < -27 \), и это не выполняется в этом диапазоне. Следовательно, переснаение с линией отсутствует или есть одна точка. Итак, в диапазоне \( -27 < m < 1 \), есть 2 точки на параболе и **нет** пересечений с линией, то есть всего — 2 точки. Но условие — **ровно 2 пересечения**. Для этого нужно, чтобы точки пересечения были по одной на каждой части, или чтобы одна из них исчезла (например, при касании). Рассмотрим ситуации подробнее. --- ### Шаг 7: Специальные случаи: касания Касание параболы и линии \( y=m \) при \( D_1=0 \): \[ m=1, \] тогда есть ровно 1 решение на параболе с \( x=-1 \). Чтобы на линии было ровно одно пересечение, нужно проверить: \[ x= m/9, \] и условие \( x < -3 \): \[ m/9 < -3 \Rightarrow m < -27. \] Но при \( m=1 \) — не выполняется. Значит, касания обеих частей — не совпадают при этом \( m \). --- ### Итоговая проверка: - При \( m \in (-27, 1) \): На параболе — 2 решений (парабола — вверх, ветви вниз), на линии — не пересекается. Итого — 2 пересечения (все на параболе). - При \( m=1 \): На параболе — одно касание, на линии — нет. Итого — 1 точка. - При \( m=-27 \): На линии — одно решение при \( x=-3 \) (параллельно касанию). На параболе: \[ D_1 = 4 - 4m = 4 - 4(-27) = 4 +108 = 112 > 0, \] значит 2 пересечения. **Итак**, чтобы было ровно 2 точки пересечения: - Имеем 2 пересечения на параболе, и ни на линии, или - пересекается на обеих частях функции, чтобы сумма — 2. Проверим, что при \( m \in (-27, 1) \), есть ровно два пересечения (оба — с параболой). --- ### **Ответ:** **Значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, — это все \( m \) в интервале:** \[ \boxed{ -27 < m < 1 } \] --- Если потребуется, я могу помочь с графиком или более точным анализом!