22. Постройте график функции y= - x ^ 2 - 2x ,x>=-3,\\ 9 x ,x<-3 и определите, при каких значениях т прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно.
Задача:
Построить график функции:
\[ y = \begin{cases} - x^2 - 2x, & x \geq -3 \\ 9x, & x < -3 \end{cases} \]
а также определить при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.
Шаг 1: Анализ функции
Эта функция — кусочно-заданная, с двумя частями:
- Для \( x \geq -3 \): \( y = -x^2 - 2x \) — парабола, ветви которой "направлены вниз", так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный.
- Для \( x < -3 \): \( y = 9x \) — простая пологая линия.
Шаг 2: Построение графика
График для \( x \geq -3 \):
- Проверим значения в точке \( x = -3 \):
\[ y = -(-3)^2 - 2 \times (-3) = -9 + 6 = -3. \]
Значит, в точке \( x=-3 \) значение функции равно \(-3\). Это точка пересечения двух частей функции (ведь для \( x \to -3^+ \) и \( x \to -3^- \) функция задается разными выражениями, но здесь они совпадают).
Для получения вида параболы посмотрим еще на другие точки справа:
- \( x=0 \):
\[ y = -0^2 - 2 \times 0 = 0. \]
- \( x=-2 \):
\[ y= -(-2)^2 - 2 \times (-2) = -4 + 4 = 0. \]
Итак, в точках \( x=0 \) и \( x=-2 \) значение равно 0, и у нас есть вершина параболы. Вершина (максимум, так как ветви вниз) находится в точке:
\[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times -1} = -\frac{-2}{-2} = -1. \]
Подставим \( x=-1 \):
\[ y= -(-1)^2 - 2 \times (-1) = -1 + 2= 1. \]
Итак, вершина параболы — точка \( (-1, 1) \).
График для \( x< -3 \):
- Это линия \( y=9x \). В точке \( x=-3 \):
\[ y= 9 \times (-3) = -27. \]
На участке \( x \to -\infty \), график идет вниз, и вблизи \( x=-3 \), значение — \(-27\).
Шаг 3: Построение графика и области определения
Общий график — это:
- парабола, начинающаяся в точке \( (-3, -3) \) и затем уходящая вниз с вершиной в \( (-1, 1) \), затем опять убывающая влево и вправо.
- по левую сторону — линия, проходящая через точки, например, \( (-3, -27) \), \( (-4, -36) \), и далее по убыванию.
Шаг 4: Определение условий для прямой \( y = m \), которая пересекает график ровно в двух точках
Рассмотрим, при каких \( m \):
- линия \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Пересечения могут происходить на обеих частях функции — на параболе и линии.
Это происходит, когда:
\( y=m \) пересекает параболу \( y= -x^2 - 2x \) для \( x \geq -3 \).
и одновременно — пересекает линию \( y=9x \) для \( x < -3 \).
Шаг 5: Решение уравнений для пересечений
Для части \( x \geq -3 \):
\[ - x^2 - 2x = m. \]
Перепишем:
\[ x^2 + 2x + m=0. \]
Количество решений:
- Два решения, если дискриминант \( D_1 > 0 \):
\[ D_1= (2)^2 - 4 \times 1 \times m = 4 - 4m > 0, \]
то есть
\[ 4 - 4m > 0 \Rightarrow m < 1. \]
- Одно решение (касание) — \( D_1=0 \):
\[ 4 - 4m=0 \Rightarrow m=1. \]
- Нет решений, если \( D_1<0 \), то
\[ m>1. \]
Однако, поскольку для \( x \geq -3 \), решения искать только при \( m \leq 1 \).
Для части \( x < -3 \):
\[ 9x = m \Rightarrow x= \frac{m}{9}. \]
Это пересечение линии и графика — точка \( x= \frac{m}{9} \), при этом условие \( x < -3 \):
\[ \frac{m}{9} < -3 \Rightarrow m < -27. \]
Шаг 6: Анализ условий на \( m \) для 2 пересечений
Нам нужно, чтобы прямая \( y=m \) пересекала график ровно в двух точках.
Обсудим возможные варианты:
Если \( m>1 \):
- На параболе решений нет (так как дискриминант отрицателен). На линии:
\[ x= \frac{m}{9} \]
пересекает линию, только если \( \frac{m}{9}<-3 \Rightarrow m<-27 \), что невозможно для \( m>1 \). Значит, только на линии — одно решение. Итого — 1 точка, а нам нужно 2. Не подходит.
Если \( -27 < m < 1 \):
- На параболе решений два (так как \( D_1>0 \)), что дает 2 точки.
- На линии решений:
\[ x= \frac{m}{9} \]
— потому что \( \frac{m}{9} < -3 \) при \( m < -27 \), и это не выполняется в этом диапазоне. Следовательно, переснаение с линией отсутствует или есть одна точка.
Итак, в диапазоне \( -27 < m < 1 \), есть 2 точки на параболе и нет пересечений с линией, то есть всего — 2 точки.
Но условие — ровно 2 пересечения. Для этого нужно, чтобы точки пересечения были по одной на каждой части, или чтобы одна из них исчезла (например, при касании).
Рассмотрим ситуации подробнее.
Шаг 7: Специальные случаи: касания
Касание параболы и линии \( y=m \) при \( D_1=0 \):
\[ m=1, \]
тогда есть ровно 1 решение на параболе с \( x=-1 \).
Чтобы на линии было ровно одно пересечение, нужно проверить:
\[ x= m/9, \] и условие \( x < -3 \):
\[ m/9 < -3 \Rightarrow m < -27. \]
Но при \( m=1 \) — не выполняется. Значит, касания обеих частей — не совпадают при этом \( m \).
Итоговая проверка:
При \( m \in (-27, 1) \):
На параболе — 2 решений (парабола — вверх, ветви вниз), на линии — не пересекается.
Итого — 2 пересечения (все на параболе).
При \( m=1 \):
На параболе — одно касание, на линии — нет. Итого — 1 точка.
При \( m=-27 \):
На линии — одно решение при \( x=-3 \) (параллельно касанию).
На параболе:
\[ D_1 = 4 - 4m = 4 - 4(-27) = 4 +108 = 112 > 0, \]
значит 2 пересечения.
Итак, чтобы было ровно 2 точки пересечения:
- Имеем 2 пересечения на параболе, и ни на линии, или
- пересекается на обеих частях функции, чтобы сумма — 2.
Проверим, что при \( m \in (-27, 1) \), есть ровно два пересечения (оба — с параболой).
Ответ:
Значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции, — это все \( m \) в интервале:
\[ \boxed{ -27 < m < 1 } \]
Если потребуется, я могу помочь с графиком или более точным анализом!
