Найдите точку минимума функции y=(3-2x)cosx+2sinx-3 принадлежащую промежутку (0; pi/2

Давайте решим задачу пошагово. Нам нужно найти точку минимума функции: \[ y = (3 - 2x)\cos x + 2 \sin x - 3 \] на промежутке \((0; \pi/2)\). --- ### 1. Обозначим функцию: \[ y(x) = (3 - 2x)\cos x + 2 \sin x - 3 \] --- ### 2. Находим производную \( y'(x) \) для поиска критических точек: Производная функции \[ y'(x) = \frac{d}{dx}\left[(3 - 2x)\cos x + 2 \sin x - 3\right] \] будет равна сумме производных отдельных слагаемых. --- ### 3. Производные: - Для \((3 - 2x)\cos x\) применим правило произведения: \[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \] где: - \( u = 3 - 2x \), тогда \( u' = -2 \), - \( v = \cos x \), тогда \( v' = -\sin x \). Итак, \[ \frac{d}{dx}[(3 - 2x)\cos x] = u'v + uv' = (-2)\cos x + (3 - 2x)(-\sin x) = -2 \cos x - (3 - 2x) \sin x \] - Производная \( 2 \sin x \) равна \( 2 \cos x \), - Производная константы \( -3 \) равна 0. --- ### 4. Итоговая производная: \[ y'(x) = -2 \cos x - (3 - 2x) \sin x + 2 \cos x \] Объединим похожие слагаемые: \[ y'(x) = (-2 \cos x + 2 \cos x) - (3 - 2x) \sin x = 0 - (3 - 2x) \sin x = - (3 - 2x) \sin x \] --- ### 5. Находим критические точки, решая уравнение: \[ y'(x) = 0 \Rightarrow - (3 - 2x) \sin x = 0 \] Это равно нулю, когда: - \( \sin x = 0 \), или - \( 3 - 2x = 0 \) на промежутке \( (0; \pi/2) \). --- ### 6. Анализируем каждое условие: - \( \sin x = 0 \): На интервале \( (0; \pi/2) \) \( \sin x = 0 \) только при \( x=0 \), но \( 0 \) не входит в открытый интервал, поэтому эта точка исключена. - \( 3 - 2x = 0 \): Решим: \[ 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 \] Так как \( 1.5 \in (0, \pi/2) \) (поскольку \( \pi/2 \approx 1.57 \)), эта точка внутри интервала и является критической точкой. --- ### 7. Проверка значения функции в критической точке: Значение функции при \( x=1.5 \): \[ y(1.5) = (3 - 2 \times 1.5) \cos 1.5 + 2 \sin 1.5 - 3 \] Вычислим шаг за шагом: - \( 3 - 2 \times 1.5 = 3 - 3 = 0 \), - \( \cos 1.5 \) — примерно \( 0.0707 \), - \( \sin 1.5 \) — примерно \( 0.9975 \). Тогда: \[ y(1.5) = 0 \times 0.0707 + 2 \times 0.9975 - 3 = 0 + 1.995 - 3 = -1.005 \] --- ### 8. Проверка значений функции в концах интервала: Поскольку интервал открыт, границы не включены, но можно рассмотреть приближения: - При \( x \to 0^+ \): \[ y(x) \approx (3 - 2x) \cos x + 2 \sin x - 3 \] при \( x \to 0 \): - \( (3 - 2 \times 0) \times 1 = 3 \), - \( 2 \times 0 = 0 \), итого \( y(0^+) \to 3 + 0 - 3 = 0 \). - При \( x \to (\pi/2)^- \): \[ y(x) \approx (3 - 2x) \times 0 + 2 \times 1 - 3 = 0 + 2 - 3 = -1 \] Итак, границы дают приближения, и на интервале точка \( x=1.5 \) дает значение около \(-1.005\), что чуть меньше, чем приближения к границам. --- ### 9. **Ответ:** Точка минимума функции на интервале \( (0; \pi/2) \) — это **критическая точка \( x= \frac{3}{2} \)**, где функция принимает значение приблизительно \(-1.005\). --- ## Итог: ### **Ответ:** Точка минимума функции принадлежит интервалу \( (0; \pi/2) \) при ** \( x = \frac{3}{2} \)**. Значение функции в этой точке — примерно \(-1.005\).