Найдите точку минимума функции y=(3-2x)cosx+2sinx-3 принадлежащую промежутку (0; pi/2
Давайте решим задачу пошагово. Нам нужно найти точку минимума функции:
\[ y = (3 - 2x)\cos x + 2 \sin x - 3 \]
на промежутке \((0; \pi/2)\).
1. Обозначим функцию:
\[ y(x) = (3 - 2x)\cos x + 2 \sin x - 3 \]
2. Находим производную \( y'(x) \) для поиска критических точек:
Производная функции
\[ y'(x) = \frac{d}{dx}\left[(3 - 2x)\cos x + 2 \sin x - 3\right] \]
будет равна сумме производных отдельных слагаемых.
3. Производные:
- Для \((3 - 2x)\cos x\) применим правило произведения:
\[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \]
где:
- \( u = 3 - 2x \), тогда \( u' = -2 \),
- \( v = \cos x \), тогда \( v' = -\sin x \).
Итак,
\[ \frac{d}{dx}[(3 - 2x)\cos x] = u'v + uv' = (-2)\cos x + (3 - 2x)(-\sin x) = -2 \cos x - (3 - 2x) \sin x \]
Производная \( 2 \sin x \) равна \( 2 \cos x \),
Производная константы \( -3 \) равна 0.
4. Итоговая производная:
\[ y'(x) = -2 \cos x - (3 - 2x) \sin x + 2 \cos x \]
Объединим похожие слагаемые:
\[ y'(x) = (-2 \cos x + 2 \cos x) - (3 - 2x) \sin x = 0 - (3 - 2x) \sin x = - (3 - 2x) \sin x \]
5. Находим критические точки, решая уравнение:
\[ y'(x) = 0 \Rightarrow - (3 - 2x) \sin x = 0 \]
Это равно нулю, когда:
- \( \sin x = 0 \), или
- \( 3 - 2x = 0 \)
на промежутке \( (0; \pi/2) \).
6. Анализируем каждое условие:
- \( \sin x = 0 \):
На интервале \( (0; \pi/2) \) \( \sin x = 0 \) только при \( x=0 \), но \( 0 \) не входит в открытый интервал, поэтому эта точка исключена.
- \( 3 - 2x = 0 \):
Решим:
\[ 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Так как \( 1.5 \in (0, \pi/2) \) (поскольку \( \pi/2 \approx 1.57 \)), эта точка внутри интервала и является критической точкой.
7. Проверка значения функции в критической точке:
Значение функции при \( x=1.5 \):
\[ y(1.5) = (3 - 2 \times 1.5) \cos 1.5 + 2 \sin 1.5 - 3 \]
Вычислим шаг за шагом:
- \( 3 - 2 \times 1.5 = 3 - 3 = 0 \),
- \( \cos 1.5 \) — примерно \( 0.0707 \),
- \( \sin 1.5 \) — примерно \( 0.9975 \).
Тогда:
\[ y(1.5) = 0 \times 0.0707 + 2 \times 0.9975 - 3 = 0 + 1.995 - 3 = -1.005 \]
8. Проверка значений функции в концах интервала:
Поскольку интервал открыт, границы не включены, но можно рассмотреть приближения:
При \( x \to 0^+ \):
\[ y(x) \approx (3 - 2x) \cos x + 2 \sin x - 3 \]
при \( x \to 0 \):
- \( (3 - 2 \times 0) \times 1 = 3 \),
- \( 2 \times 0 = 0 \),
итого \( y(0^+) \to 3 + 0 - 3 = 0 \).
При \( x \to (\pi/2)^- \):
\[ y(x) \approx (3 - 2x) \times 0 + 2 \times 1 - 3 = 0 + 2 - 3 = -1 \]
Итак, границы дают приближения, и на интервале точка \( x=1.5 \) дает значение около \(-1.005\), что чуть меньше, чем приближения к границам.
9. Ответ:
Точка минимума функции на интервале \( (0; \pi/2) \) — это критическая точка \( x= \frac{3}{2} \), где функция принимает значение приблизительно \(-1.005\).
Итог:
Ответ:
Точка минимума функции принадлежит интервалу \( (0; \pi/2) \) при ** \( x = \frac{3}{2} \)**.
Значение функции в этой точке — примерно \(-1.005\).
