--- 2. В прямоугольном параллелепипеде OSNMO₁S₁N₁M₁ ребро OS = 12, ребро OM = √10, ребро OO₁ = 8. Точка B - середина ребра SS₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки O₁, M₁ и B.

Давайте решим задачу поэтапно, чтобы понять, как найти площадь искомого сечения. ### Шаг 1. Построение и обозначение - Дана геометрическая фигура: прямоугольный параллелепипед **OSNMO₁S₁N₁M₁**. - Величины: - \( OS = 12 \) - \( OM = \sqrt{10} \) - \( OO_1 = 8 \) - Точка \( B \) — середина ребра \( SS_1 \). Обозначим вершины и оси для удобства: - \( O \) — начальная точка, исходная. - \( O_1 \) — вершина параллелепипеда, расположенная по вертикальной оси (поднимается на \( 8 \) единиц). ### Шаг 2. Координатная система Выберем координаты: - \( O \) — (0, 0, 0). - Так как \( OS = 12 \), пусть \( S \) находится в плоскости \( xy \)-вектора по оси \( y \), так как \( OS \) — ребро, перпендикулярное другим (предположим), то: - \( S = (0, 12, 0) \). - \( OM = \sqrt{10} \). Пусть \( M \) лежит на оси \( x \), тогда: - \( M = (\sqrt{10}, 0, 0) \). - \( O_1 \) — находится сверху, на высоте \( 8 \): - \( O_1 = (0, 0, 8) \). Другие вершины: - \( N \), \( N_1 \), \( M_1 \)— расположены так, чтобы параллелепипед был прямым. - \( N \) — \( (0, 0, 0) \), так как \( N \) — вершина, связанная с \( O \) по вертикали и параллельно другим ребрам. - \( N \) — либо находится по оси \( y \), предполагаем, что \( N \) — где-то по оси \( y \), но более простым будет взять гипотезу, что \( N = (0, 12, 8) \), поскольку он является вершиной, соединённой горизонтально с \( S \) и \( O_1 \). Теперь найдем точку \( B \), середину ребра \( SS_1 \): - \( S \) — (0, 12, 0). - \( S_1 \) — по высоте 8 от \( S \) вдоль вертикальной оси: - \( S_1 = (0, 12, 8) \). Точка \( B \): \[ B = \frac{S + S_1}{2} = \left(0, 12, \frac{0 + 8}{2}\right) = (0, 12, 4). \] ### Шаг 3. Координаты ключевых точек - \( O = (0, 0, 0) \) - \( O_1 = (0, 0, 8) \) - \( M_1 \) — вершина, по горизонтальной оси, параллельная \( M \), но с высотой \( O_1 \): \[ M_1 = (\sqrt{10}, 0, 8) \] - \( B = (0, 12, 4) \) ### Шаг 4. Векторные вычисления Нам нужно найти площадь треугольника \( O_1 M_1 B \). Площадь треугольника по векторам равна половине модуля векторного произведения двух векторов, исходящих из одной точки. Выберем точку \( O_1 \) — из нее возьмем два вектора: - \( \vec{O_1 M_1} = M_1 - O_1 = (\sqrt{10} - 0, 0 - 0, 8 - 8) = (\sqrt{10}, 0, 0) \). - \( \vec{O_1 B} = B - O_1 = (0 - 0, 12 - 0, 4 - 8) = (0, 12, -4) \). ### Шаг 5. Векторное произведение Вычислим \(\vec{O_1 M_1} \times \vec{O_1 B}\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \sqrt{10} & 0 & 0 \\ 0 & 12 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-4) - 0 \cdot 12) - \mathbf{j}(\sqrt{10} \cdot (-4) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(\sqrt{10} \cdot 12 - 0 \cdot 0). \] Рассчитаем компоненты: - \( \mathbf{i} \) — \( 0 - 0 = 0 \), - \( \mathbf{j} \) — \( - (\sqrt{10} \cdot (-4)) = -(-4\sqrt{10}) = 4 \sqrt{10} \), - \( \mathbf{k} \) — \( \sqrt{10} \times 12 = 12 \sqrt{10} \). Общий вектор: \[ \vec{A} = (0, 4 \sqrt{10}, 12 \sqrt{10}). \] Модуль векторного произведения: \[ |\vec{A}| = \sqrt{0^2 + (4 \sqrt{10})^2 + (12 \sqrt{10})^2} = \sqrt{0 + 16 \times 10 + 144 \times 10} = \sqrt{160 + 1440} = \sqrt{1600} = 40. \] ### Шаг 6. Площадь треугольника Площадь: \[ S = \frac{1}{2} |\vec{O_1 M_1} \times \vec{O_1 B}| = \frac{1}{2} \times 40 = 20. \] --- ## Итог: **Ответ:** **Площадь сечения, проходящего через точки \( O_1 \), \( M_1 \) и \( B \), равна 20 единицам площади.**