4x^2-36<0

Рассмотрим неравенство:
\[ 4x^2 - 36 < 0 \]

Цель — понять, при каких значениях \(x\) выполняется это неравенство.

Шаг 1. Упростим неравенство.
Обратим внимание, что в левом выражении есть разность квадратов: \(4x^2 - 36\).
Ее можно записать как:
\[ 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) \]

Шаг 2. Разложение на множители

\[ 4(x^2 - 9) = 4(x - 3)(x + 3) \]
так как \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).

Теперь наше неравенство: \[ 4(x - 3)(x + 3) < 0 \]

Поскольку коэффициент перед скобками — 4, он положителен, следовательно, знак неравенства зависит только от произведения \((x - 3)(x + 3)\).

Шаг 3. Решение неравенства (x - 3)(x + 3) < 0

Произведение двух чисел — отрицательное, если одно из них положительно, а другое отрицательно.
Области знака произведения:

• Когда \((x - 3) > 0\) и \((x + 3) < 0\), что невозможно одновременно.
• Когда \((x - 3) < 0\) и \((x + 3) > 0\).

Рассмотрим интервал:

• \(x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3\)
• \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\)

Чтобы произведение было отрицательным, nødvendigt эти два условия одновременно выполняются, то есть:
\[ -3 < x < 3 \]

Итог:

Область решений неравенства: \(\boxed{-3 < x < 3}\)

Ответ:
\[ \boxed{x \in (-3, 3)} \]

Если есть желание — могу сделать график или объяснить подробнее!