Робот оснащён двумя отдельно управляемыми колёсами радиус 5 см. Колёса напрямую подсоединены к моторам. Левым колесом управляет мотор А, правым колесом управляет мотор В. Ширина…

Данная задача связана с движением робота, у которого две колёса — левое и правое — управляются отдельными моторами. Нам нужно определить, на какой угол повернулся робот после того, как одно из колёс (левое, управляемое мотором А) повернулось на 540°, при условии, что ось мотора В зафиксирована.

Что происходит при движении робота?

• Когда одно колесо вращается, а другое остаётся неподвижным, робот поворачивается вокруг неподвижного колеса (в данном случае — справа, так как мотор В зафиксирован).
• Этот поворот — описывается понятием рулевого радиуса и дуги, которую описывает движущиеся колёса.

Важные параметры:

• Радиус колеса \( R = 5\, \text{см} \).
• Угол поворота левого колеса \( \theta_A = 540^\circ \).
• Расстояние между осями \( L = 25\, \textсм} \).

---

Шаг 1. Переводим угол колеса в радианы

Поскольку формула для дуги и радиуса проще в радианах, переведём 540° в радианы:

\[ \theta_A = 540^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = 3\pi/1/3 = 3 \times \frac{\pi}{1} = 3\pi \approx 9.4247\, \text{радиан} \]

Но лучше оставить для вычислений в градусах или воспользоваться в радианах — всё равно.

---

Шаг 2. Определяем дугу, пройденную колёсами

Дуга, пройденная левым колесом:

\[ S = R \times \theta_A \]

Где:

• \( R = 5\, \text{см} \),
• \( \theta_A = 540^\circ = 3\pi\, \text радиан \).

Вычислим:

\[ S = 5\, \text{см} \times 3\pi \approx 5 \times 9.4247 \approx 47.1235\, \text{см} \]

Это — путь, пройденный левым колёсом.

---

Шаг 3. Определение радиуса поворота робота

Когда робот поворачивается, левое колесо проходит дугу длины \( S \), а правое — не движется, оставаясь неподвижным относительно оси поворота. Радиус поворота (расстояние от центра поворота до центра колёса) — это рабочий радиус поворота по дуге, задаваемый по формуле:

\[ R_{turn} = \frac{S}{\theta_{robot}} \]

Где \(\theta_{robot}\) — искомый угол поворота робота (в радианах).

Также, поскольку колёса расположены на расстоянии \( L \) друг от друга и при повороте робот описывает дугу, радиус кривизны, для которого известен путь одного колеса, связан со всеми параметрами.

---

Шаг 4. Связь между пройденным путём и углом поворота робота

Если робот повернулся на угол \(\phi\) (в радианах), то:

• левое колесо при этом пройдёт дугу радиуса \( R_{left} = R_{turn} + \frac{L}{2} \).

• правое — дугу радиуса \( R_{right} = R_{turn} - \frac{L}{2} \).

Поскольку левое колесо прοшло путь \( S \):

\[ S = R_{left} \times \phi \]

Значит:

\[ \phi = \frac{S}{R_{left}} = \frac{S}{ R_{turn} + \frac{L}{2} } \]

Но так как правое колесо неподвижно (или не движется, если допустить \( R_{right} \approx R_{turn} - L/2 \)) в ситуации с одним колесом — мы можем принять, что оно неподвижно относительно точки поворота, и радиус поворота равен:

\[ R_{turn} = \frac{L}{2} \times \frac{1}{\tan(\frac{\phi}{2})} \]

или использовать более простую т.к. движение одной колёсной оси:

---

Шаг 5. Использование соотношения для случая с одним неподвижным колёсом

Для одностороннего поворота (одно колесо фиксировано, другое — вращается):

\[ S = R \times \theta_A \]

и расстояние от центра поворота до неподвижного колеса:

\[ D = R_{turn} = \frac{L}{2} \cot \frac{\phi}{2} \]

Обратное выражение:

\[ \phi = 2 \arctan \left( \frac{L}{2 R_{turn}} \right) \]

А так как:

\[ S = R_{left} \times \phi \]

и

\[ R_{left} = R_{turn} + \frac{L}{2} \]

можем найти \(\phi\) через соотношение длины пути и радиуса.

---

Итог

Поскольку только левое колесо вращается, то:

\[ S = (R_{turn} + \frac{L}{2}) \times \phi \]

и

\[ R_{turn} = \frac{L}{2} \cot \frac{\phi}{2} \]

заменяем \( R_{turn} \) из второго выражения в первое:

\[ S = \left( \frac{L}{2} \cot \frac{\phi}{2} + \frac{L}{2} \right) \times \phi \]

Вынесем \( \frac{L}{2} \):

\[ S = \frac{L}{2} \left( \cot \frac{\phi}{2} + 1 \right) \times \phi \]

Подставим \( S \approx 47.1235\, \text{см} \), \( L = 25\, \textсм} \):

\[ 47.1235 = \frac{25}{2} \left( \cot \frac{\phi}{2} + 1 \right) \times \phi \]

или:

\[ 47.1235 = 12.5 \left( \cot \frac{\phi}{2} + 1 \right) \times \phi \]

Решаем это уравнение численно.

---

Шаг 6. численный подход

Поскольку уравнение сложное, и мы ищем \(\phi\), приближенными можно предположить, что \(\phi\) — небольшое, и что:

\[ \cot \frac{\phi}{2} \approx \frac{2}{\phi} \]

тогда:

\[ 47.1235 \approx 12.5 \times \left( \frac{2}{\phi} + 1 \right) \times \phi \]

\[ 47.1235 \approx 12.5 \times (2 + \phi) \]

\[ \Rightarrow 47.1235 \approx 12.5 \times (2 + \phi ) \]

\[ \Rightarrow \frac{47.1235}{12.5} \approx 2 + \phi \]

\[ \Rightarrow 3.7699 \approx 2 + \phi \]

\[ \Rightarrow \phi \approx 1.7699\, \text радан или в градусах: \[ \phi_{deg} = \frac{180^\circ}{\pi} \times 1.7699 \approx 101.4^\circ \]

---

Ответ:

Робот повернулся примерно на 101.4°.