Водород массой 400 мг при температуре 17 ∘ С находится в сосуде под поршнем. Объём газа увеличили в 4 раза при постоянном давлении. Определи изменение внутренней энергии в Дж.
Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним все этапы.
Исходные данные:
- Масса водорода, \( m = 400 \text{ мг} = 0{,}4 \text{ г} = 0{,}0004 \text{ кг} \)
- Начальная температура, \( T_1 = 17^\circ C \). Переведём в Кельвины: \[ T_1 = 17 + 273{,}15 = 290{,}15 \text{ К} \]
- Объём увеличили в 4 раза: \[ V_2 = 4 V_1 \]
- Давление осталось постоянным: \( P \) не изменяется.
Шаг 1: Расчет количества веществ (моль)
Молярная масса водорода:
\[
M = 2\, \text{г/моль} = 0{,}002\, \text{кг/моль}
\]
Количество вещества по массе:
\[
n = \frac{m}{M} = \frac{0{,}0004}{0{,}002} = 0{,}2\, \text{моль}
\]
Шаг 2: Внутренняя энергия идеального газа
Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры и равна:
\[
U = \frac{f}{2} n R T
\]
где:
- \( f \) — число степеней свободы молекулы, для водорода (две атомных, не полярная молекула) — \( f = 3 \) (кинетическая энергия поступательного движения).
Тогда:
\[
U = \frac{3}{2} n R T
\]
Где:
- \( R = 8{,}314\, \text{Дж/(моль·К)} \)
Шаг 3: Рассмотрение изменения внутренней энергии
Объем увеличивается в 4 раза при постоянном давлении, значит, температура внутри газа тоже меняется.
Используем уравнение Пуассона для изохорного или изобарного процесса:
Поскольку давление постоянное, из уравнения идеального газа:
\[
PV = nRT
\]
и при постоянном \( P \):
\[
V \propto T
\]
Следовательно,
\[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}
\]
\[
4 = \frac{T_2}{T_1}
\]
\[
T_2 = 4 T_1 = 4 \times 290{,}15 = 1160{,}6\, \text{К}
\]
Шаг 4: Определение изменения внутренней энергии
Разность внутренней энергии:
\[
\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{3}{2} n R T_2 - \frac{3}{2} n R T_1
\]
\[
\Delta U = \frac{3}{2} n R (T_2 - T_1)
\]
Подставим значения: \[ \Delta U = \frac{3}{2} \times 0{,}2 \times 8{,}314 \times (1160{,}6 - 290{,}15) \]
Вычислим разницу температур: \[ T_2 - T_1 = 1160{,}6 - 290{,}15 = 870{,}45\, \text{К} \]
Теперь полное вычисление: \[ \Delta U = 1.5 \times 0.2 \times 8.314 \times 870.45 \]
Вычислим пошагово:
- \( 1.5 \times 0.2 = 0.3 \)
- \( 0.3 \times 8.314 \approx 2.4942 \)
- \( 2.4942 \times 870.45 \approx 2169.8\, \text{Дж} \)
Ответ:
\[ \boxed{ \Delta U \approx 2170\, \text{Дж} } \]
Итог: при увеличении объема газа в 4 раза при постоянном давлении внутреняя энергия водорода увеличилась примерно на 2170 Дж.
