Решите неравенство: (х+4) (х-8≥0

Давайте подробно решим неравенство: \((x + 4)(x - 8) \geq 0\).

Шаг 1: Определяем точки, где выражение равно нулю.
Для этого ищем корни уравнения \((x + 4)(x - 8) = 0\):

• \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
• \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

Шаг 2: Разбиваем числовую ось на интервалы с помощью найденных точек.
Получаем три интервала:

• \((-\infty, -4)\)
• \((-4, 8)\)
• \((8, +\infty)\)

Шаг 3: Определяем знак выражения \((x + 4)(x - 8)\) на каждом интервале.
Для этого выберем по одному произвольному числу из каждого интервала и подставим его в исходное выражение.

• На интервале \((-\infty, -4)\) возьмём, например, \(x = -5\):

  \[ ( -5 + 4 ) ( -5 - 8 ) = (-1) \times (-13) = 13 > 0 \] Значит, выражение положительное на этом интервале.

• На интервале \((-4, 8)\) возьмём, например, \(x = 0\):

  \[ ( 0 + 4 )( 0 - 8 ) = 4 \times (-8) = -32 < 0 \] Значит, выражение отрицательное на этом интервале.

• На интервале \((8, +\infty)\) возьмём, например, \(x = 9\):

  \[ ( 9 + 4 )( 9 - 8 ) = 13 \times 1 = 13 > 0 \] Значит, выражение положительное на этом интервале.

Шаг 4: Записываем решение неравенства.
Нам нужно найти такие значения \(x\), для которых \((x + 4)(x - 8) \geq 0\), то есть, когда выражение положительно или равно нулю.

• Значения, где выражение равно нулю: \(x = -4\) и \(x =8\).
• На интервалах, где знак положителен: \((-\infty, -4]\) и \([8, +\infty)\).

Обратите внимание, что неравенство включает знак «больше или равно», значит, точки, где выражение равно нулю, тоже входят в решение.

Ответ:
\[ \boxed{ (-\infty, -4] \cup [8, +\infty) } \]

Если что-то нужно пояснить подробнее — спрашивай!