(x ^ 2 - 9)/(10 - 3x) * (2/(x - 4) - (4x)/(x ^ 2 - x - 12) - 1/(x + 3)) *
Давайте разберем данное выражение и упростим его по шагам. Указано:
\[ \frac{x^2 - 9}{10 - 3x} \times \left( \frac{2}{x - 4} - \frac{4x}{x^2 - x - 12} - \frac{1}{x + 3} \right) \]
Наши действия:
- Упростить каждый из факторов.
- Упростить внутренние выражения в скобках.
- В дальнейшем — упростить все вместе.
Шаг 1. Упростим числитель и знаменатель первого дробного выражения.
\[ x^2 - 9 \]
Это разность квадратов:
\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]
Знаменатель:
\[ 10 - 3x \]
Тут ничего особо не можно упростить, оставим так.
Шаг 2. Упростим выражение внутри скобок:
\[ \frac{2}{x - 4} - \frac{4x}{x^2 - x - 12} - \frac{1}{x + 3} \]
Обратим внимание, что множество имеет три дроби с разными знаменателями. Для их объединения нужно привести их к общему знаменателю.
Шаг 3. Упростим \(x^2 - x - 12\)
Это квадратичное выражение:
\[ x^2 - x - 12 \]
Найдем его разложение на множители:
Найдем два числа, произведение которых равно -12, а сумма — -1:
- 3 и -4, потому что:
\[ 3 \times -4 = -12, \quad 3 + (-4) = -1 \]
Значит,
\[ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \]
Шаг 4. Перепишем внутренние дроби с учётом разложения
Так:
\[ \frac{2}{x - 4} - \frac{4x}{(x - 4)(x + 3)} - \frac{1}{x + 3} \]
Заметим уже, что у второй дроби есть общий множитель.
Шаг 5. Приведем к общему знаменателю
Общий знаменатель:
\[ (x - 4)(x + 3) \]
Перепишем каждую дробь так, чтобы у них был общий знаменатель:
- первая дробь:
\[ \frac{2}{x - 4} = \frac{2(x + 3)}{(x - 4)(x + 3)} \]
- вторая дробь:
\[ \frac{4x}{(x - 4)(x + 3)} \] (оставляем как есть)
- третья дробь:
\[ \frac{1}{x + 3} = \frac{1(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} \]
Шаг 6. Выполняем сложение и вычитание
Теперь запишем внутри скобок:
\[ \frac{2(x + 3)}{(x - 4)(x + 3)} - \frac{4x}{(x - 4)(x + 3)} - \frac{x - 4}{(x + 3)(x - 4)} \]
Общий знаменатель — \((x - 4)(x + 3)\).
Общий числитель:
\[ 2(x + 3) - 4x - (x - 4) \]
Раскроем скобки:
\[ 2x + 6 - 4x - x + 4 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ (2x - 4x - x) + (6 + 4) = (-3x) + 10 \]
Значит, внутри скобок получился один дробь:
\[ \frac{-3x + 10}{(x - 4)(x + 3)} \]
Итог: внутренние скобки выражения
\[ \frac{-3x + 10}{(x - 4)(x + 3)} \]
Шаг 7. Теперь возвращаемся к исходному выражению
Получили:
\[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{10 - 3x} \times \frac{-3x + 10}{(x - 4)(x + 3)} \]
Обратите внимание, что \((x + 3)\) есть как в числителе, так и в знаменателе, они сокращаются:
\[ \frac{(x - 3)}{10 - 3x} \times \frac{-3x + 10}{x - 4} \]
Шаг 8. Окончательное выражение
Итак:
\[ \frac{(x - 3)}{10 - 3x} \times \frac{-3x + 10}{x - 4} \]
Объединим в один дроби — перемножим числители и знаменатели:
\[ \frac{(x - 3)(-3x + 10)}{(10 - 3x)(x - 4)} \]
Шаг 9. Обратите внимание на выражения в знаменателе:
Заметка: \(10 - 3x\) можно переписать как \(- (3x - 10)\):
\[ 10 - 3x = - (3x - 10) \]
Обратим внимание на числитель, \(-3x + 10\), что равно \(10 - 3x\).
Означает, что числитель:
\[ (x - 3)(10 - 3x) \]
Знаменатель:
\[ (10 - 3x)(x - 4) \]
В итоге у нас есть:
\[ \frac{(x - 3)(10 - 3x)}{(10 - 3x)(x - 4)} \]
Теперь, поскольку \((10 - 3x)\) есть и в числителе, и в знаменителе, они сокращаются (при условии, что \(10 - 3x \neq 0\)):
\[ \frac{x - 3}{x - 4} \]
Итог:
\[ \boxed{\frac{x - 3}{x - 4}} \]
Это — окончательное упрощение исходного выражения, при условии, что не исключены точки разрыва \(\,x \neq 4,\, x \neq \frac{10}{3}\,\).
Если нужно, я могу помочь с дополнительными пояснениями или проверкой.
