В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 20 см, AB = 2BD. Чему равен угол C?

Рассмотрим задачу шаг за шагом: **Дано:** - Треугольник \( ABC \), угол \( B \) — прямой (\( \angle B = 90^\circ \)), - \( BD \) — высота из вершины \( B \), - \( AC = 20\) см, - \( AB = 2BD \), - Нужно найти угол \( C \). **Шаг 1. Построение и обозначения** Обозначим: - \( A \), \( B \), \( C \) — вершины треугольника, - \( D \) — точка на стороне \( AC \), которая является основанием высоты \( BD \), - \( BD \perp AC \). Так как \( \angle B = 90^\circ \), то треугольник \( ABC \) — прямоугольный, и его гипотенуза \( AC = 20 \) см. **Шаг 2. Расположение треугольника** Пусть: - \( B \) — в начале координат: \( B(0,0) \), - \( A \) лежит на оси \( x \): \( A(a,0) \), - \( C \) — на оси \( y \): \( C(0,c) \). Тогда: - \( \angle B = 90^\circ \), - \( AB = |a - 0| = a \), - \( BC = |c - 0| = c \), - \( AC = \sqrt{a^2 + c^2} = 20 \). Нам нужно найти угол \( C \), то есть угол между сторонами \( BC \) и \( AC \). **Шаг 3. Связь высоты и сторон** Высота \( BD \) — из вершины \( B \) на гипотенузу \( AC \). В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка, \( AD \) и \( DC \). Известно: - \( AB = 2BD \). Обозначим: - \( BD = h \). Тогда: \[ AB = 2h \implies a = 2h. \] Также известно, что: \[ AC = \sqrt{a^2 + c^2} = 20. \] Теперь выразим \( c \): \[ c = \sqrt{20^2 - a^2} = \sqrt{400 - a^2}. \] Подставим \( a = 2h \): \[ c = \sqrt{400 - (2h)^2} = \sqrt{400 - 4h^2}. \] **Шаг 4. Связь высоты \( BD \) с координатами** Высота \( BD \) — это перпендикуляр из \( B(0,0) \) к \( AC \). Уравнение прямой \( AC \): - через \( A(a,0) \) и \( C(0,c) \). Наклон прямой \( AC \): \[ m_{AC} = \frac{c - 0}{0 - a} = -\frac{c}{a}. \] Уравнение: \[ y - 0 = -\frac{c}{a}(x - a), \] \[ y = -\frac{c}{a} x + c. \] Высота \( BD \), исходящая из \( B(0,0) \), перпендикулярна \( AC \), поэтому ее уравнение — перпендикулярно к \( y = -\frac{c}{a} x + c \). Коэффициент наклона \( m_{AC} = -c/a \). Перпендикуляр имеет наклон: \[ m_{\perp} = \frac{a}{c}. \] Уравнение высоты: \[ y = \frac{a}{c} x. \] Точка пересечения \( D \): Подставим \( y = \frac{a}{c} x \) в уравнение \( AC \): \[ \frac{a}{c} x = -\frac{c}{a} x + c, \] \[ \frac{a}{c} x + \frac{c}{a} x = c, \] приведем к общему знаменателю: \[ \frac{a^2 + c^2}{a c} x = c, \] \[ x = \frac{c \cdot a c}{a^2 + c^2} = \frac{a c^2}{a^2 + c^2}. \] Тогда: \[ y = \frac{a}{c} \cdot x = \frac{a}{c} \cdot \frac{a c^2}{a^2 + c^2} = \frac{a^2 c}{a^2 + c^2}. \] Следовательно, \[ D \left( \frac{a c^2}{a^2 + c^2}, \frac{a^2 c}{a^2 + c^2} \right). \] **Шаг 5. Связь с длиной высоты \( BD \)** Расстояние \( BD \): \[ BD = \sqrt{\left(\frac{a c^2}{a^2 + c^2}\right)^2 + \left(\frac{a^2 c}{a^2 + c^2}\right)^2}. \] Общий знаменатель: \((a^2 + c^2)^2\). Вместо этого, проще заметить, что высота — это длина от \( B(0,0) \) до \( D \): \[ BD = \sqrt{\left(\frac{a c^2}{a^2 + c^2}\right)^2 + \left(\frac{a^2 c}{a^2 + c^2}\right)^2}. \] Выразим: \[ BD = \frac{1}{a^2 + c^2} \sqrt{ (a c^2)^2 + (a^2 c)^2 } = \frac{1}{a^2 + c^2} \sqrt{ a^2 c^4 + a^4 c }. \] Общий множитель: \[ a^2 c^4 + a^4 c = a^2 c (c^3 + a^2). \] Тогда: \[ BD = \frac{\sqrt{a^2 c (c^3 + a^2)}}{a^2 + c^2} = \frac{\sqrt{a^2 c} \sqrt{c^3 + a^2}}{a^2 + c^2}. \] Но есть проще — использовать свойства прямоугольника и высоты в прямоугольной фигуре: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( AC = 20 \), высота из прямого угла \( B \) делит гипотенузу \( AC \) в пропорциональности: \[ \text{Если } AD = p, \quad DC = q, \] то \[ AB^2 = p \cdot AC, \] \[ CB^2 = q \cdot AC. \] Также: \[ AB = a, \] \[ CB = c, \] \[ AC = 20, \] и \[ a^2 = p \times 20, \] \[ c^2 = q \times 20, \] а сумма: \[ p + q = 20. \] Переходя указанной логике, и учитывая, что \( AB = 2BD \), нужно найти \( BD \). В прямоугольных треугольниках высота из прямого угла — это катет, и он равен: \[ BD = \frac{a c}{\sqrt{a^2 + c^2}}. \] Потому что в прямоугольнике высота, проведённая из угла, равна \( \frac{\text{катет}_1 \times \text{катет}_2}{гипотенуза} \). Из этого: \[ BD = \frac{a c}{20}. \] Так как \( AB = a = 2BD \): \[ a = 2 \times \frac{a c}{20} \Rightarrow a = \frac{a c}{10}. \] При делении на \( a \) получаем: \[ 1 = \frac{c}{10} \Rightarrow c = 10. \] Теперь найдём \( a \): \[ a^2 + c^2 = 400, \] \[ a^2 + 100 = 400, \] \[ a^2 = 300, \] \[ a = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}. \] Получены размеры: \[ AB = a = 10\sqrt{3} \approx 17.32\text{ см}, \] \[ CB = c = 10 \text{ см}, \] \[ AC = 20 \text{ см}. \] Высота: \[ BD = \frac{a c}{20} = \frac{10\sqrt{3} \times 10}{20} = \frac{100 \sqrt{3}}{20} = 5 \sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}. \] Проверим условие: \[ AB = 2BD \Rightarrow 10\sqrt{3} \stackrel{?}{=} 2 \times 5 \sqrt{3} \Rightarrow 10\sqrt{3} = 10\sqrt{3}. \] Верно! **Шаг 6. Теперь найдём угол \( C \).** Угол \( C \) — это угол между сторонами \( BC \) (по оси \( y \)) и \( AC \) (гипотенуза). Координаты сторон: - \( B(0,0) \), - \( C(0,10) \), - \( A(10\sqrt{3},0) \). Угол \( C \) — это угол при вершине \( C \). Через векторное произведение: \[ \vec{CB} = B - C = (0 - 0, 0 - 10) = (0, -10), \] \[ \vec{CA} = A - C = (10\sqrt{3} - 0, 0 - 10) = (10\sqrt{3}, -10). \] Коэффициенты: - скалярное произведение: \[ \vec{CB} \cdot \vec{CA} = 0 \times 10\sqrt{3} + (-10) \times (-10) = 100, \] - длины: \[ |\vec{CB}| = 10, \] \[ |\vec{CA}| = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 \times 3 + 100} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20. \] Тогда: \[ \cos C = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CB}| \times |\vec{CA}|} = \frac{100}{10 \times 20} = \frac{100}{200} = 0.5. \] Следовательно: \[ C = \arccos 0.5 = 60^\circ. \] **Ответ:** \(\boxed{60^\circ}\). --- **ИТОГ:** Угол \( C \) равен **60 градусам**.