В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 20 см, AB = 2BD. Чему равен угол C?

Рассмотрим задачу шаг за шагом:

Дано:

• Треугольник \( ABC \), угол \( B \) — прямой (\( \angle B = 90^\circ \)),
• \( BD \) — высота из вершины \( B \),
• \( AC = 20\) см,
• \( AB = 2BD \),
• Нужно найти угол \( C \).

Шаг 1. Построение и обозначения

Обозначим:

• \( A \), \( B \), \( C \) — вершины треугольника,
• \( D \) — точка на стороне \( AC \), которая является основанием высоты \( BD \),
• \( BD \perp AC \).

Так как \( \angle B = 90^\circ \), то треугольник \( ABC \) — прямоугольный, и его гипотенуза \( AC = 20 \) см.

Шаг 2. Расположение треугольника

Пусть:

• \( B \) — в начале координат: \( B(0,0) \),
• \( A \) лежит на оси \( x \): \( A(a,0) \),
• \( C \) — на оси \( y \): \( C(0,c) \).

Тогда:

• \( \angle B = 90^\circ \),
• \( AB = |a - 0| = a \),
• \( BC = |c - 0| = c \),
• \( AC = \sqrt{a^2 + c^2} = 20 \).

Нам нужно найти угол \( C \), то есть угол между сторонами \( BC \) и \( AC \).

Шаг 3. Связь высоты и сторон

Высота \( BD \) — из вершины \( B \) на гипотенузу \( AC \). В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка, \( AD \) и \( DC \).

Известно:

• \( AB = 2BD \).

Обозначим:

• \( BD = h \).

Тогда: \[ AB = 2h \implies a = 2h. \]

Также известно, что: \[ AC = \sqrt{a^2 + c^2} = 20. \]

Теперь выразим \( c \): \[ c = \sqrt{20^2 - a^2} = \sqrt{400 - a^2}. \]

Подставим \( a = 2h \):

\[ c = \sqrt{400 - (2h)^2} = \sqrt{400 - 4h^2}. \]

Шаг 4. Связь высоты \( BD \) с координатами

Высота \( BD \) — это перпендикуляр из \( B(0,0) \) к \( AC \).

Уравнение прямой \( AC \):

• через \( A(a,0) \) и \( C(0,c) \).

Наклон прямой \( AC \):

\[ m_{AC} = \frac{c - 0}{0 - a} = -\frac{c}{a}. \]

Уравнение:

\[ y - 0 = -\frac{c}{a}(x - a), \] \[ y = -\frac{c}{a} x + c. \]

Высота \( BD \), исходящая из \( B(0,0) \), перпендикулярна \( AC \), поэтому ее уравнение — перпендикулярно к \( y = -\frac{c}{a} x + c \).

Коэффициент наклона \( m_{AC} = -c/a \).

Перпендикуляр имеет наклон:

\[ m_{\perp} = \frac{a}{c}. \]

Уравнение высоты:

\[ y = \frac{a}{c} x. \]

Точка пересечения \( D \):

Подставим \( y = \frac{a}{c} x \) в уравнение \( AC \):

\[ \frac{a}{c} x = -\frac{c}{a} x + c, \] \[ \frac{a}{c} x + \frac{c}{a} x = c, \] приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{a^2 + c^2}{a c} x = c, \] \[ x = \frac{c \cdot a c}{a^2 + c^2} = \frac{a c^2}{a^2 + c^2}. \]

Тогда:

\[ y = \frac{a}{c} \cdot x = \frac{a}{c} \cdot \frac{a c^2}{a^2 + c^2} = \frac{a^2 c}{a^2 + c^2}. \]

Следовательно,

\[ D \left( \frac{a c^2}{a^2 + c^2}, \frac{a^2 c}{a^2 + c^2} \right). \]

Шаг 5. Связь с длиной высоты \( BD \)

Расстояние \( BD \):

\[ BD = \sqrt{\left(\frac{a c^2}{a^2 + c^2}\right)^2 + \left(\frac{a^2 c}{a^2 + c^2}\right)^2}. \]

Общий знаменатель: \((a^2 + c^2)^2\). Вместо этого, проще заметить, что высота — это длина от \( B(0,0) \) до \( D \):

\[ BD = \sqrt{\left(\frac{a c^2}{a^2 + c^2}\right)^2 + \left(\frac{a^2 c}{a^2 + c^2}\right)^2}. \]

Выразим:

\[ BD = \frac{1}{a^2 + c^2} \sqrt{ (a c^2)^2 + (a^2 c)^2 } = \frac{1}{a^2 + c^2} \sqrt{ a^2 c^4 + a^4 c }. \]

Общий множитель:

\[ a^2 c^4 + a^4 c = a^2 c (c^3 + a^2). \]

Тогда:

\[ BD = \frac{\sqrt{a^2 c (c^3 + a^2)}}{a^2 + c^2} = \frac{\sqrt{a^2 c} \sqrt{c^3 + a^2}}{a^2 + c^2}. \]

Но есть проще — использовать свойства прямоугольника и высоты в прямоугольной фигуре:

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \( AC = 20 \), высота из прямого угла \( B \) делит гипотенузу \( AC \) в пропорциональности:

\[ \text{Если } AD = p, \quad DC = q, \] то \[ AB^2 = p \cdot AC, \] \[ CB^2 = q \cdot AC. \]

Также:

\[ AB = a, \] \[ CB = c, \] \[ AC = 20, \]

и

\[ a^2 = p \times 20, \] \[ c^2 = q \times 20, \]

а сумма:

\[ p + q = 20. \]

Переходя указанной логике, и учитывая, что \( AB = 2BD \), нужно найти \( BD \). В прямоугольных треугольниках высота из прямого угла — это катет, и он равен:

\[ BD = \frac{a c}{\sqrt{a^2 + c^2}}. \]

Потому что в прямоугольнике высота, проведённая из угла, равна \( \frac{\text{катет}_1 \times \text{катет}_2}{гипотенуза} \).

Из этого:

\[ BD = \frac{a c}{20}. \]

Так как \( AB = a = 2BD \):

\[ a = 2 \times \frac{a c}{20} \Rightarrow a = \frac{a c}{10}. \]

При делении на \( a \) получаем:

\[ 1 = \frac{c}{10} \Rightarrow c = 10. \]

Теперь найдём \( a \):

\[ a^2 + c^2 = 400, \] \[ a^2 + 100 = 400, \] \[ a^2 = 300, \] \[ a = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}. \]

Получены размеры:

\[ AB = a = 10\sqrt{3} \approx 17.32\text{ см}, \] \[ CB = c = 10 \text{ см}, \] \[ AC = 20 \text{ см}. \]

Высота:

\[ BD = \frac{a c}{20} = \frac{10\sqrt{3} \times 10}{20} = \frac{100 \sqrt{3}}{20} = 5 \sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}. \]

Проверим условие:

\[ AB = 2BD \Rightarrow 10\sqrt{3} \stackrel{?}{=} 2 \times 5 \sqrt{3} \Rightarrow 10\sqrt{3} = 10\sqrt{3}. \]

Верно!

Шаг 6. Теперь найдём угол \( C \).

Угол \( C \) — это угол между сторонами \( BC \) (по оси \( y \)) и \( AC \) (гипотенуза).

Координаты сторон:

• \( B(0,0) \),
• \( C(0,10) \),
• \( A(10\sqrt{3},0) \).

Угол \( C \) — это угол при вершине \( C \).

Через векторное произведение:

\[ \vec{CB} = B - C = (0 - 0, 0 - 10) = (0, -10), \] \[ \vec{CA} = A - C = (10\sqrt{3} - 0, 0 - 10) = (10\sqrt{3}, -10). \]

Коэффициенты:

• скалярное произведение:

\[ \vec{CB} \cdot \vec{CA} = 0 \times 10\sqrt{3} + (-10) \times (-10) = 100, \]

• длины:

\[ |\vec{CB}| = 10, \] \[ |\vec{CA}| = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 \times 3 + 100} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20. \]

Тогда:

\[ \cos C = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CB}| \times |\vec{CA}|} = \frac{100}{10 \times 20} = \frac{100}{200} = 0.5. \]

Следовательно:

\[ C = \arccos 0.5 = 60^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{60^\circ}\).

---

ИТОГ: Угол \( C \) равен 60 градусам.