В треугольнике ABC угол B — прямой, BD — высота треугольника, AC = 20 см, AB = 2BD. Найдите AD.

Давайте разберемся с задачей поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти отрезок AD в треугольнике ABC с указанными условиями. **Дано:** - Треугольник ABC, - Угол B — прямой (∠B = 90°), - BD — высота, проведенная из вершины B на сторону AC, - AC = 20 см, - AB = 2BD, - Нужно найти отрезок AD. --- ### Шаг 1. Построение и учет условий 1. Так как ∠B — прямой, значит в треугольнике ABC угол при вершине B — прямой. 2. Пусть точка D — точка на стороне AC, такая что BD — высота, опущенная из B на AC. 3. В треугольнике ABC с прямым углом в B стороны AB и BC образуют прямой угол. --- ### Шаг 2. Введение обозначений Обозначим стороны: - \( AC = 20 \) см (дано), - \( AB \) — сторона, прилежащая к углу B, - \( BC \) — вторая сторона, прилежащая к углу B. Обозначим: - \( AB = x \), - \( BC = y \). Также назначим координаты: - Пусть точка A находится в точке \((0,0)\); - Тогда точка C — \((20,0)\) (так как AC — основание и равно 20 см); - Вершина B — где-то по координатам \((0, b)\), так как угол B прямой и находится на вертикальной линии. --- ### Шаг 3. Расчет высоты BD Высота BD — проведена из B на AC. Поскольку AC — горизонтальная линия, высота из B — вертикальная, и D — точка на AC с координатой \((d, 0)\). Тогда: - \( BD \) — вертикальный отрезок из \((0, b)\) к \((d, 0)\). Длина: \[ BD = |b - 0| = b. \] Также, по условию, \( AB = 2BD \): \[ AB = x = 2BD = 2b. \] Теперь выразим \( AB \) через координаты: \[ AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (b - 0)^2} = b, \] но это только если B — в \(\ (0, b)\), A — \((0,0)\). Тогда \(AB = b\). Тогда: \[ AB = b, \] и по условию: \[ x = b, \] но по предыдущему рассуждению — \(AB = b\), а \(AB = 2BD = 2b\). Это противоречит, — нужно уточнить. --- ### Шаг 4. Исправление подхода На самом деле, высота \(BD\) — перпендикуляр к \(AC\), и D — точка на \(AC\). Поскольку \(AC\) — горизонтальна, точка D — где высота из B опускается на \(AC\). Тогда: - B — где-то внутри треугольника, - D — на \(AC\), - BD — высота. Если обозначить: - \(AC = 20\), - точка D — на \(AC\), с координатой \(d\) (от 0 до 20). Пусть B имеет координаты \((x_b, y_b)\). Тогда: - \(A = (0, 0)\), - \(C = (20, 0)\), - \(D = (d, 0)\). Высота BD — перпендикуляр из \(B = (x_b, y_b)\) на \(AC\). Так как \(AC — горизонтальная\) (на оси x равна 0 и 20), то: - Высота из B — вертикальная линия (если D — на оси x = d), - Поскольку BD — перпендикуляр к \(AC\), высота — вертикальная линия, потому что \(AC\) — горизонталь, и D — на оси x = d. Итак, из B опущен вертикальный перпендикуляр на \(AC\). Тогда D — это точка на \(AC\), с координатой \((d, 0)\), где \(d\) — неизвестная. --- ### Шаг 5. Условие AB = 2BD Теперь найдем \(AB\): \[ AB = \sqrt{(x_b - 0)^2 + (y_b - 0)^2} = \sqrt{x_b^2 + y_b^2}. \] Высота BD — вертикальный отрезок из \((x_b, y_b)\) до \((d, 0)\), то есть: \[ BD = | y_b |. \] По условию: \[ AB = 2BD \Rightarrow \sqrt{x_b^2 + y_b^2} = 2 | y_b |. \] Рассмотрим два случая: \( y_b \geq 0 \) и \( y_b < 0 \). Для определения решим для \( y_b \ge 0 \): \[ \sqrt{x_b^2 + y_b^2} = 2 y_b, \] возводим обе части в квадрат: \[ x_b^2 + y_b^2 = 4 y_b^2, \] \[ x_b^2 = 3 y_b^2, \] следовательно, \[ x_b = \pm \sqrt{3} y_b. \] --- ### Шаг 6. Связь между координатами Также, поскольку B — вершина с прямым углом в B, треугольник ABC — прямоугольный в B, и стороны: \[ AB = \sqrt{x_b^2 + y_b^2}, \] \[ BC = \sqrt{(x_b - 20)^2 + y_b^2}, \] \[ AC = 20. \] Поскольку угол в B — прямой, то: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2, \] подставим: \[ (x_b)^2 + y_b^2 + (x_b - 20)^2 + y_b^2 = 20^2 = 400, \] \[ x_b^2 + y_b^2 + x_b^2 - 40 x_b + 400 + y_b^2 = 400, \] \[ 2 x_b^2 + 2 y_b^2 - 40 x_b + 400 = 400, \] \[ 2 x_b^2 + 2 y_b^2 - 40 x_b = 0, \] разделим на 2: \[ x_b^2 + y_b^2 - 20 x_b = 0, \] заменим \( x_b = \pm \sqrt{3} y_b \). Рассмотрим положительный случай \( x_b = \sqrt{3} y_b \), так как это проще: \[ (\sqrt{3} y_b)^2 + y_b^2 - 20 \sqrt{3} y_b = 0, \] \[ 3 y_b^2 + y_b^2 - 20 \sqrt{3} y_b = 0, \] \[ 4 y_b^2 - 20 \sqrt{3} y_b = 0, \] выносим \( y_b \): \[ y_b (4 y_b - 20 \sqrt{3}) = 0. \] Это дает два решения: 1. \( y_b = 0 \), что невозможно, так как тогда \(AB = 0\); 2. или \[ 4 y_b = 20 \sqrt{3}, \] \[ y_b = \frac{20 \sqrt{3}}{4} = 5 \sqrt{3}. \] Тогда \[ x_b = \sqrt{3} y_b = \sqrt{3} \times 5 \sqrt{3} = 5 \times 3 = 15. \] --- ### **Шаг 7. Расчет длины BD и AD** Теперь: \[ BD = y_b = 5 \sqrt{3} \text{ см}. \] Обратно, из условия: \[ AB = 2 BD = 2 \times 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \approx 17.32 \text{ см}. \] Проверка: \[ AB = \sqrt{x_b^2 + y_b^2} = \sqrt{15^2 + (5 \sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 25 \times 3} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}, \] все совпадает. --- ### **Шаг 8. Нахождение AD** Теперь определим точку D. Она находится на \(AC\) (от 0 до 20 по x), с координатой \((d, 0)\). Более того, поскольку высота BD — вертикальный отрезок от \(B=(x_b, y_b) = (15, 5 \sqrt{3})\) до \(D=(d, 0)\). Высота — перпендикуляр из B на \(AC\) — вертикальная — поэтому D — просто точка на оси x, равная \(d\). Так как D — основание высоты, и высота — перпендикуляр из B на AC, то D — проекция точки B на ось x: \[ d = x_b = 15. \] **Ответ:** Длина \( AD \): \[ AD = d - 0 = 15\, \text{см}. \] --- ### **ИТОГ:** **Ответ: \(\boxed{15\, \text{см}}\).** --- Если есть еще вопросы или нужно подробнее объяснить отдельный шаг — скажите!