Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение.
Дано:
- Отношение периметров двух подобных треугольников равно ( \frac{4}{7} ).
- Сумма площадей этих треугольников равна 325 см².
Требуется найти:
- Площадь первого треугольника.
- Площадь второго треугольника.
Шаг 1. Обозначения и свойства
Пусть:
- ( P_1 ) и ( P_2 ) — периметры первого и второго треугольников.
- ( S_1 ) и ( S_2 ) — площади первого и второго треугольников.
Из условия:
[
\frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{7}
]
Поскольку треугольники подобны, отношение их линейных размеров равно ( \frac{a_1}{a_2} ), которое равно ( k ). Тогда:
[
k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{7}
]
Шаг 2. Связь между подобными фигурами и площадями
Площадь подобной фигуры связана с линейным масштабом ( k ) следующей формулой:
[
\frac{S_1}{S_2} = k^2
]
Подставляя ( k = \frac{4}{7} ):
[
\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49}
]
Шаг 3. Обозначим площади и составим уравнение
Пусть ( S_1 = x ), тогда:
[
S_2 = y
]
Из условия суммы площадей:
[
x + y = 325
]
Также из отношения площадей:
[
\frac{x}{y} = \frac{16}{49}
]
Следовательно:
[
x = \frac{16}{49} y
]
Подставляем ( x ) в уравнение суммы:
[
\frac{16}{49} y + y = 325
]
Шаг 4. Решение уравнения
Общий вид:
[
\left(\frac{16}{49} + 1\right) y = 325
]
Находим сумму внутри скобок:
[
\frac{16}{49} + 1 = \frac{16}{49} + \frac{49}{49} = \frac{65}{49}
]
Теперь уравнение:
[
\frac{65}{49} y = 325
]
Находим ( y ):
[
y = 325 \times \frac{49}{65}
]
Упростим:
[
\frac{325}{65} = 5
]
Тогда:
[
y = 5 \times 49 = 245
]
Теперь ищем ( x ):
[
x = \frac{16}{49} \times 245
]
Произведем расчет:
[
x = 16 \times \frac{245}{49}
]
Обратите внимание:
[
\frac{245}{49} = 5
]
Следовательно:
[
x = 16 \times 5 = 80
]
Ответ:
- Площадь первого треугольника ( S_1 = \boxed{80, \text{см}^2} )
- Площадь второго треугольника ( S_2 = \boxed{245, \text{см}^2} )
Если потребуется, я могу объяснить еще раз или помочь с другими задачами!
