10. Большее основание КТ равнобедренной трапеции КМРТ равно 35 см, а ее боковая сторона 15 см. Найдите площадь трапеции, если sinK=0,6.

Рассмотрим задачу поэтапно. Необходимо найти площадь трапеции, зная основание, боковую сторону и значение синуса одного из углов. **Дано:** - Большое основание \( KT = 35 \text{ см} \) - Боковая сторона \( KM = 15 \text{ см} \) - \( \sin K = 0,6 \) --- ### Шаг 1. Определение условий и перерасчет данных Предположим, что трапеция \( K M R T \) — равнобедренная, значит |\( KM \)| и |\( R T \)| — боковые стороны, а \( KT \) — основание. Тогда: - \( KT \) — большое основание, равное 35 см - боковые стороны \( KM \) и \( R T \) равны и равны 15 см - \( \angle K \) — угол при вершине \( K \), его синус равен 0,6 --- ### Шаг 2. Построение и определение нужных элементов Обозначим: - Расстояние между основаниями — высота трапеции \( h \). - Половина основания \( KT \): \( \frac{35}{2} = 17,5 \text{ см} \). - Поскольку трапеция равнобедренная, то отрезки \( KM \) и \( R T \) наклонены одинаково, и высота \( h \) является перпендикуляром к основаниям. --- ### Шаг 3. Использование синуса для определения высоты Рассмотрим triangle \( K M X \), где \( X \) — точка на основании \( KT \), соответствующая проекции вершины \( K \). - Величина \( \sin K \) связана с противолежащей стороной и гипотенузой в треугольнике, образованном боковой стороной и высотой. Обозначим: - \( h \) — высота трапеции (перпендикуляр между основанием и боковыми сторонами). - В треугольнике, образованном боковой стороной, гипотенузой — это боковая сторона \( KM \), а противолежащий угол — это \( \angle K \). Тогда: \[ \sin \angle K = \frac{h}{KM} \] Подставим известные значения: \[ 0,6 = \frac{h}{15} \implies h = 15 \times 0,6 = 9 \text{ см} \] --- ### Шаг 4. Вычисление площади трапеции Площадь трапеции: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] где: - \( a = KT = 35 \text{ см} \) — большое основание, - \( b \) — маленькое основание (найдём его), - \( h = 9 \text{ см} \). ### Шаг 5. Надо определить длину меньшего основания \( R T \) Из равнобедренной трапеции и уголка \( \angle K \) можем найти сдвиг боковых сторон. Обозначим: - Проекцию \( KM \) на основание \( KT \) — \( x \). Тогда: \[ \cos \angle K = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \] но нам нужно найти \( \cos \angle K \). Поскольку \( \sin \angle K = 0,6 \), то: \[ \cos \angle K = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \] --- ### Шаг 6. Нахождение половины основания \( b \) В треугольнике \( K M X \): - \( K M = 15 \) см — гипотенуза - Высота \( h = 9 \) см — противолежащий катет - \( x \) — прилежащий катет, соответствующий половине меньшего основания. Используем: \[ \cos \angle K = \frac{x}{15} \implies x = 15 \times 0,8 = 12 \text{ см} \] Это — горизонтальное расстояние от вершины \( K \) до проекции \( X \), она равна половине второго основания. Обозначим: - \( b \) — половина меньшего основания: \[ b = 2 \times x = 2 \times 12 = 24 \text{ см} \] Однако, так как \( KT = 35 \text{ см} \), и трапеция равнобедренная, значит существующее основание \( R T \) равно 24 см. --- ### Шаг 7. Итоговая формула площади Площадь: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h = \frac{(35 + 24)}{2} \times 9 \] Вычисляем: \[ S = \frac{59}{2} \times 9 = 29,5 \times 9 = 265,5 \text{ см}^2 \] --- ## **Ответ:** **Площадь трапеции равна \(\boxed{265,5 \text{ см}^2}\).**