Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- В треугольнике ( ABC ) угол ( C = 90^\circ ) (прямой угол).
- ( AB = 42 ) см — гипотенуза.
- ( \sin \angle A = \frac{5}{7} ).
Найти: длину стороны ( BC ).
Шаг 1. Построение чертежа и обозначение сторон
Обозначим стороны:
- ( AB ) — гипотенуза противоположна углу ( C ).
- ( AC ) — прилежащая к углу ( A ).
- ( BC ) — прилежащая к углу ( B ).
В треугольнике ( ABC ):
- ( \angle C = 90^\circ ),
- ( \angle A ),
- ( \angle B ).
Обозначим стороны:
- ( a = BC ) — противолежащая углу ( A ),
- ( b = AC ) — противолежащая углу ( B ),
- ( c = AB ) — гипотенуза.
Шаг 2. Использование данных и тригонометрии
Из условия:
[
\sin \angle A = \frac{\text{противолежащая}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{7}.
]
Значит,
[
a = \frac{5}{7} \times c.
]
Также известно, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
a^2 + b^2 = c^2.
]
Заменим ( a ) в формуле:
[
\left(\frac{5}{7} c\right)^2 + b^2 = c^2,
]
[
\frac{25}{49} c^2 + b^2 = c^2,
]
[
b^2 = c^2 - \frac{25}{49} c^2 = c^2 \left(1 - \frac{25}{49}\right) = c^2 \times \frac{24}{49}.
]
Поскольку ( c = 42 ) см, найдем ( a ):
[
a = \frac{5}{7} \times 42 = 5 \times 6 = 30 \text{ см}.
]
Теперь найдём ( b ):
[
b^2 = 42^2 \times \frac{24}{49}.
]
Вычисляем:
[
42^2 = 1764,
]
[
b^2 = 1764 \times \frac{24}{49}.
]
Заметим, что ( 42/7 = 6 ), и ( 49 = 7^2 ), поэтому:
[
b^2 = 1764 \times \frac{24}{49} = 36 \times 24,
]
потому что ( 1764 \div 49 = 36 ).
Теперь
[
b^2 = 36 \times 24 = 864.
]
Находим ( b ):
[
b = \sqrt{864} = \sqrt{144 \times 6} = 12 \sqrt{6} \text{ см}.
]
Ответ:
Длина стороны ( BC ) равна 30 см.
Краткое резюме:
- ( AB = 42 ) см (гипотенуза),
- ( \sin \angle A = 5/7 ),
- ( BC = a = 30 ) см.
Если нужно, я могу подготовить изображение или объяснять подробнее!
