В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 42 см, а синус угла А равен 5/7. Найдите BC. С чертежом обязательно

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• В треугольнике \( ABC \) угол \( C = 90^\circ \) (прямой угол).
• \( AB = 42 \) см — гипотенуза.
• \( \sin \angle A = \frac{5}{7} \).

Найти: длину стороны \( BC \).

Шаг 1. Построение чертежа и обозначение сторон

Обозначим стороны:

• \( AB \) — гипотенуза противоположна углу \( C \).
• \( AC \) — прилежащая к углу \( A \).
• \( BC \) — прилежащая к углу \( B \).

В треугольнике \( ABC \):

• \( \angle C = 90^\circ \),
• \( \angle A \),
• \( \angle B \).

Обозначим стороны:

• \( a = BC \) — противолежащая углу \( A \),
• \( b = AC \) — противолежащая углу \( B \),
• \( c = AB \) — гипотенуза.

Шаг 2. Использование данных и тригонометрии

Из условия: \[ \sin \angle A = \frac{\text{противолежащая}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{5}{7}. \] Значит, \[ a = \frac{5}{7} \times c. \]

Также известно, что у прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2. \]

Заменим \( a \) в формуле: \[ \left(\frac{5}{7} c\right)^2 + b^2 = c^2, \] \[ \frac{25}{49} c^2 + b^2 = c^2, \] \[ b^2 = c^2 - \frac{25}{49} c^2 = c^2 \left(1 - \frac{25}{49}\right) = c^2 \times \frac{24}{49}. \]

Поскольку \( c = 42 \) см, найдем \( a \): \[ a = \frac{5}{7} \times 42 = 5 \times 6 = 30 \text{ см}. \]

Теперь найдём \( b \): \[ b^2 = 42^2 \times \frac{24}{49}. \] Вычисляем: \[ 42^2 = 1764, \] \[ b^2 = 1764 \times \frac{24}{49}. \]

Заметим, что \( 42/7 = 6 \), и \( 49 = 7^2 \), поэтому: \[ b^2 = 1764 \times \frac{24}{49} = 36 \times 24, \] потому что \( 1764 \div 49 = 36 \).

Теперь \[ b^2 = 36 \times 24 = 864. \]

Находим \( b \): \[ b = \sqrt{864} = \sqrt{144 \times 6} = 12 \sqrt{6} \text{ см}. \]

Ответ:

Длина стороны \( BC \) равна 30 см.

Краткое резюме:

• \( AB = 42 \) см (гипотенуза),
• \( \sin \angle A = 5/7 \),
• \( BC = a = 30 \) см.

Если нужно, я могу подготовить изображение или объяснять подробнее!