12.17. Катушка с активным сопротивлением R = 20 Ом и ин- дуктивностью L = 0,05 Гн соединена последовательно с конден- сатором С = 50 мкФ (см. рис. 12.3). На зажимах цепи действует…

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап. Задача связана с цепью RLC, в которой источник переменного ЭДС генерирует треугольный график с заданным уравнением.

Дано:

• Активное сопротивление: \( R = 20\,\Omega \)
• Индуктивность: \( L = 0.05\,Гн \)
• Конденсатор: \( C = 50\,\мкФ = 50 \times 10^{-6}\,Ф \)
• Напряжение источника: \( E_{р} = 220\,В \)
• Частота: \( \omega = 314\,рад/с \)
• Функция ЭДС:
  \[ e(t) = \frac{8E}{\pi^2} \left( \sin 1 \omega t - \sin 3 \omega t + \frac{1}{5} \sin 5 \omega t - \frac{1}{7} \sin 7 \omega t + \frac{1}{9} \sin 9 \omega t \right) \]

Цель: найти действующее значение тока \( I_{ср} \) и активную мощность \( P \).

---

Шаг 1: Определение формы напряжения

Из уравнения видно, что напряжение — сумма синусоидальных гармоник с разными амплитудами. Для вычисления тока и мощности нужно найти реактивное и активное сопротивление для каждого гармоника.

---

Шаг 2: Восприятие уравнения напряжения

Упростим коэффициенты уравнения:

\[ e(t) = \frac{8E}{\pi^2} \left( \sin \omega t - \sin 3 \omega t + \frac{1}{5} \sin 5 \omega t - \frac{1}{7} \sin 7 \omega t + \frac{1}{9} \sin 9 \omega t \right) \]

Гаммы и их амплитуды:

Гармоника	Коэффициент перед \(\sin n\omega t\)	Амплитуда \(E_n\) в Вольтах
1	1	\( E_1 = \frac{8E}{\pi^2} \times 1 \)
3	-1	\( E_3 = - \frac{8E}{\pi^2} \times 1 \)
5	\( 1/5 \)	\( E_5 = \frac{8E}{\pi^2} \times \frac{1}{5} \)
7	-\( 1/7 \)	\( E_7 = - \frac{8E}{\pi^2} \times \frac{1}{7} \)
9	\( 1/9 \)	\( E_9 = \frac{8E}{\pi^2} \times \frac{1}{9} \)

Подставим числовые значения:

\[ E = 220\,В \]

\[ \frac{8 \times 220}{\pi^2} = \frac{1760}{\pi^2} \approx \frac{1760}{9.8696} \approx 178.4\,В \]

Тогда:

Гармоника	Амплитуда \(E_n\) В	\(E_n\) (числовое)
1	1	\( 178.4 \) В
3	-1	\(-178.4\) В
5	\(1/5\)	\( 178.4/5 \approx 35.7 \) В
7	\(-1/7\)	\(-178.4/7 \approx -25.5 \) В
9	\(1/9\)	\( 178.4/9 \approx 19.8 \) В

---

Шаг 3: Определение импеданса для каждой гармоники

Импеданс RLC-цепи (для гармоники n) равен:

\[ Z_n = \sqrt{R^2 + (X_{L,n} - X_{C,n})^2} \]

где:

• индуктивный реактивитет: \(X_{L} = n \omega L\),
• ёмкостный реактивитет: \(X_{C} = \frac{1}{n \omega C}\).

Вычислим эти значения:

\[ X_{L,n} = n \omega L \]

\[ X_{C,n} = \frac{1}{n \omega C} \]

---

Шаг 4: Вычисление реактивностей

\[ \omega L = 314 \times 0.05 = 15.7\,\Omega \]

\[ X_{L,n} = n \times 15.7 \]

\[ X_{C,n} = \frac{1}{n \times 15.7} \]

Гармоника n	\(X_{L,n}\) \(\Omega\)	\(X_{C,n}\) \(\Omega\)	\(X_{L,n} - X_{C,n}\) \(\Omega\)
1	15.7	\(\approx 0.0637\)	\(15.7 - 0.0637 \approx 15.636\)
3	47.1	\(\approx 0.0213\)	\(47.1 - 0.0213 \approx 47.078\)
5	78.5	\(\approx 0.0127\)	\(78.5 - 0.0127 \approx 78.487\)
7	109.9	\(\approx 0.0090\)	\(109.9 - 0.009 \approx 109.891\)
9	141.3	\(\approx 0.0071\)	\(141.3 - 0.0071 \approx 141.293\)

Общий импеданс для каждой гармоники:

\[ Z_n = \sqrt{R^2 + (\text{разность реактивностей})^2} \]

Рассчитаем их:

n	\(Z_n\) \(\Omega\)
1	\(\sqrt{20^2 + 15.636^2} \approx \sqrt{400 + 244} \approx \sqrt{644} \approx 25.4\)
3	\(\sqrt{20^2 + 47.078^2} \approx \sqrt{400 + 2216} \approx \sqrt{2616} \approx 51.2\)
5	\(\sqrt{20^2 + 78.487^2} \approx \sqrt{400 + 6158} \approx \sqrt{6558} \approx 81.0\)
7	\(\sqrt{20^2 + 109.891^2} \approx \sqrt{400 + 12075} \approx \sqrt{12475} \approx 111.7\)
9	\(\sqrt{20^2 + 141.293^2} \approx \sqrt{400 + 19980} \approx \sqrt{20380} \approx 142.8\)

---

Шаг 5: Вычисление тока для каждой гармоники

Косинус фазы:

\[ \cos \varphi_n = \frac{R}{Z_n} \]

Амплитуда гармонических токов:

\[ I_n = \frac{E_n}{Z_n} \]

Действующее значение каждой гармонической составляющей:

\[ I_{n,\text{эфф}} = \frac{E_n}{\sqrt{2} Z_n} \]

(учитывая, что амплитуда \(E_n\) — максимум, а для действующего значения сигнала — делим на \(\sqrt{2}\)).

Посчитаем:

n	\(E_n\) В	\(Z_n\) Ом	\(I_{n,\text{эфф}}\) А
1	178.4	25.4	\(\frac{178.4}{\sqrt{2} \times 25.4} \approx \frac{178.4}{35.9} \approx 4.97\)
3	-178.4	51.2	\(\frac{178.4}{\sqrt{2} \times 51.2} \approx \frac{178.4}{72.4} \approx 2.46\)
5	35.7	81.0	\(\frac{35.7}{\sqrt{2} \times 81.0} \approx \frac{35.7}{114.6} \approx 0.31\)
7	-25.5	111.7	\(\frac{25.5}{\sqrt{2} \times 111.7} \approx \frac{25.5}{158.2} \approx 0.16\)
9	19.8	142.8	\(\frac{19.8}{\sqrt{2} \times 142.8} \approx \frac{19.8}{202.0} \approx 0.098\)

Общий действующий ток поразрядно можно найти, как сумму всех гармоник (учитывая их знак и фазу, но для оценки возьмем сумму абсолютных значений для приближения):

\[ I_{ср} \approx \sqrt{\sum I_{n,\text{эфф}}^2} \text{ (при их независимости)} \]

Поскольку гармоники разные и не синфазны, для точных расчетов нужно учитывать их фазовые сдвиги, но для приближения возьмем их так, так как все существенные гармоники по амплитуде мы учли.

\[ I_{ср} \approx \sqrt{4.97^2 + 2.46^2 + 0.31^2 + 0.16^2 + 0.098^2} \approx \sqrt{24.7 + 6.05 + 0.096 + 0.026 + 0.01} \approx \sqrt{30.9} \approx 5.56\,А \]

---

Шаг 6: Расчет активной мощности

Мощность источника при наличии гармоник:

\[ P = \sum_{n} U_{n,\text{эфф}} \times I_{n,\text{эфф}} \times \cos \varphi_n \]

или же:

\[ P = \sum_{n} \frac{E_n^2}{Z_n} \times \cos \varphi_n \]

где:

\[ \cos \varphi_n = \frac{R}{Z_n} \]

Посчитаем для каждой гармоники:

n	\(E_n\) В	\(Z_n\) Ом	\(\cos \varphi_n\)	\(P_n = \frac{E_n^2}{Z_n} \cos \varphi_n\) Вт
1	178.4	25.4	\(20/25.4 \approx 0.787\)	\(\frac{178.4^2}{25.4} \times 0.787 \approx \frac{31833}{25.4} \times 0.787 \approx 1252.18 \times 0.787 \approx 987\)
3	-178.4	51.2	\(20/51.2 \approx 0.391\)	\(\frac{31833}{51.2} \times 0.391 \approx 622.09 \times 0.391 \approx 243\)
5	35.7	81.0	\(20/81.0 \approx 0.247\)	\(\frac{1274}{81} \times 0.247 \approx 15.7 \times 0.247 \approx 3.9\)
7	-25.5	111.7	\(20/111.7 \approx 0.179\)	\(\frac{650}{111.7} \times 0.179 \approx 5.81 \times 0.179 \approx 1.04\)
9	19.8	142.8	\(20/142.8 \approx 0.14\)	\(\frac{392}{142.8} \times 0.14 \approx 2.74 \times 0.14 \approx 0.38\)

Общая активная мощность:

\[ P \approx 987 + 243 + 3.9 + 1.04 + 0.38 \approx 1238\,Вт \]

---

Итог:

• Действующее значение тока:

\[ \boxed{ I_{ср} \approx 5.56\,А } \]

• Активная мощность:

\[ \boxed{ P \approx 1240\,Вт } \]

---

Если есть необходимость, я могу дать пояснения по отдельным частям или уточнить детали!