12.17. Катушка с активным сопротивлением R = 20 Ом и ин- дуктивностью L = 0,05 Гн соединена последовательно с конден- сатором С = 50 мкФ (см. рис. 12.3). На зажимах цепи действует ЭДС, график которой имеет вид треугольника (см. рис. 12.1, б) и выражается уравнением 8E e= п² m sinor - s sin 3or + (sin corsin 1 sin 5wt 25 1 -sin 7wt + 49 Определить действующее значение тока и активную мощность в цепи, если внутреннее сопротивление источника энергии мало и им можно пренебречь, Ет = 220 В и = 314 рад/с. 0

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап. Задача связана с цепью RLC, в которой источник переменного ЭДС генерирует треугольный график с заданным уравнением. **Дано:** - Активное сопротивление: \( R = 20\,\Omega \) - Индуктивность: \( L = 0.05\,Гн \) - Конденсатор: \( C = 50\,\мкФ = 50 \times 10^{-6}\,Ф \) - Напряжение источника: \( E_{р} = 220\,В \) - Частота: \( \omega = 314\,рад/с \) - Функция ЭДС: \[ e(t) = \frac{8E}{\pi^2} \left( \sin 1 \omega t - \sin 3 \omega t + \frac{1}{5} \sin 5 \omega t - \frac{1}{7} \sin 7 \omega t + \frac{1}{9} \sin 9 \omega t \right) \] **Цель:** найти действующее значение тока \( I_{ср} \) и активную мощность \( P \). --- ### Шаг 1: Определение формы напряжения Из уравнения видно, что напряжение — сумма синусоидальных гармоник с разными амплитудами. Для вычисления тока и мощности нужно найти реактивное и активное сопротивление для каждого гармоника. --- ### Шаг 2: Восприятие уравнения напряжения Упростим коэффициенты уравнения: \[ e(t) = \frac{8E}{\pi^2} \left( \sin \omega t - \sin 3 \omega t + \frac{1}{5} \sin 5 \omega t - \frac{1}{7} \sin 7 \omega t + \frac{1}{9} \sin 9 \omega t \right) \] **Гаммы и их амплитуды:** | Гармоника | Коэффициент перед \(\sin n\omega t\) | Амплитуда \(E_n\) в Вольтах | |------------|----------------------------------------|-----------------------------| | 1 | 1 | \( E_1 = \frac{8E}{\pi^2} \times 1 \) | | 3 | -1 | \( E_3 = - \frac{8E}{\pi^2} \times 1 \) | | 5 | \( 1/5 \) | \( E_5 = \frac{8E}{\pi^2} \times \frac{1}{5} \) | | 7 | -\( 1/7 \) | \( E_7 = - \frac{8E}{\pi^2} \times \frac{1}{7} \) | | 9 | \( 1/9 \) | \( E_9 = \frac{8E}{\pi^2} \times \frac{1}{9} \) | Подставим числовые значения: \[ E = 220\,В \] \[ \frac{8 \times 220}{\pi^2} = \frac{1760}{\pi^2} \approx \frac{1760}{9.8696} \approx 178.4\,В \] Тогда: | Гармоника | Амплитуда \(E_n\) В | \(E_n\) (числовое) | |------------|---------------------|---------------------| | 1 | 1 | \( 178.4 \) В | | 3 | -1 | \(-178.4\) В | | 5 | \(1/5\) | \( 178.4/5 \approx 35.7 \) В | | 7 | \(-1/7\) | \(-178.4/7 \approx -25.5 \) В | | 9 | \(1/9\) | \( 178.4/9 \approx 19.8 \) В | --- ### Шаг 3: Определение импеданса для каждой гармоники Импеданс RLC-цепи (для гармоники n) равен: \[ Z_n = \sqrt{R^2 + (X_{L,n} - X_{C,n})^2} \] где: - индуктивный реактивитет: \(X_{L} = n \omega L\), - ёмкостный реактивитет: \(X_{C} = \frac{1}{n \omega C}\). Вычислим эти значения: \[ X_{L,n} = n \omega L \] \[ X_{C,n} = \frac{1}{n \omega C} \] --- ### Шаг 4: Вычисление реактивностей \[ \omega L = 314 \times 0.05 = 15.7\,\Omega \] \[ X_{L,n} = n \times 15.7 \] \[ X_{C,n} = \frac{1}{n \times 15.7} \] | Гармоника n | \(X_{L,n}\) \(\Omega\) | \(X_{C,n}\) \(\Omega\) | \(X_{L,n} - X_{C,n}\) \(\Omega\) | |--------------|------------------------|------------------------|------------------------------| | 1 | 15.7 | \(\approx 0.0637\) | \(15.7 - 0.0637 \approx 15.636\) | | 3 | 47.1 | \(\approx 0.0213\) | \(47.1 - 0.0213 \approx 47.078\) | | 5 | 78.5 | \(\approx 0.0127\) | \(78.5 - 0.0127 \approx 78.487\) | | 7 | 109.9 | \(\approx 0.0090\) | \(109.9 - 0.009 \approx 109.891\) | | 9 | 141.3 | \(\approx 0.0071\) | \(141.3 - 0.0071 \approx 141.293\) | Общий импеданс для каждой гармоники: \[ Z_n = \sqrt{R^2 + (\text{разность реактивностей})^2} \] Рассчитаем их: | n | \(Z_n\) \(\Omega\) | |-----|--------------------------------------------------| | 1 | \(\sqrt{20^2 + 15.636^2} \approx \sqrt{400 + 244} \approx \sqrt{644} \approx 25.4\) | | 3 | \(\sqrt{20^2 + 47.078^2} \approx \sqrt{400 + 2216} \approx \sqrt{2616} \approx 51.2\) | | 5 | \(\sqrt{20^2 + 78.487^2} \approx \sqrt{400 + 6158} \approx \sqrt{6558} \approx 81.0\) | | 7 | \(\sqrt{20^2 + 109.891^2} \approx \sqrt{400 + 12075} \approx \sqrt{12475} \approx 111.7\) | | 9 | \(\sqrt{20^2 + 141.293^2} \approx \sqrt{400 + 19980} \approx \sqrt{20380} \approx 142.8\) | --- ### Шаг 5: Вычисление тока для каждой гармоники Косинус фазы: \[ \cos \varphi_n = \frac{R}{Z_n} \] Амплитуда гармонических токов: \[ I_n = \frac{E_n}{Z_n} \] Действующее значение каждой гармонической составляющей: \[ I_{n,\text{эфф}} = \frac{E_n}{\sqrt{2} Z_n} \] (учитывая, что амплитуда \(E_n\) — максимум, а для действующего значения сигнала — делим на \(\sqrt{2}\)). Посчитаем: | n | \(E_n\) В | \(Z_n\) Ом | \(I_{n,\text{эфф}}\) А | |-----|------------|------------|--------------------------------------------------| | 1 | 178.4 | 25.4 | \(\frac{178.4}{\sqrt{2} \times 25.4} \approx \frac{178.4}{35.9} \approx 4.97\) | | 3 | -178.4 | 51.2 | \(\frac{178.4}{\sqrt{2} \times 51.2} \approx \frac{178.4}{72.4} \approx 2.46\) | | 5 | 35.7 | 81.0 | \(\frac{35.7}{\sqrt{2} \times 81.0} \approx \frac{35.7}{114.6} \approx 0.31\) | | 7 | -25.5 | 111.7 | \(\frac{25.5}{\sqrt{2} \times 111.7} \approx \frac{25.5}{158.2} \approx 0.16\) | | 9 | 19.8 | 142.8 | \(\frac{19.8}{\sqrt{2} \times 142.8} \approx \frac{19.8}{202.0} \approx 0.098\) | Общий действующий ток поразрядно можно найти, как сумму всех гармоник (учитывая их знак и фазу, но для оценки возьмем сумму абсолютных значений для приближения): \[ I_{ср} \approx \sqrt{\sum I_{n,\text{эфф}}^2} \text{ (при их независимости)} \] Поскольку гармоники разные и не синфазны, для точных расчетов нужно учитывать их фазовые сдвиги, но для приближения возьмем их так, так как все существенные гармоники по амплитуде мы учли. \[ I_{ср} \approx \sqrt{4.97^2 + 2.46^2 + 0.31^2 + 0.16^2 + 0.098^2} \approx \sqrt{24.7 + 6.05 + 0.096 + 0.026 + 0.01} \approx \sqrt{30.9} \approx 5.56\,А \] --- ### Шаг 6: Расчет активной мощности Мощность источника при наличии гармоник: \[ P = \sum_{n} U_{n,\text{эфф}} \times I_{n,\text{эфф}} \times \cos \varphi_n \] или же: \[ P = \sum_{n} \frac{E_n^2}{Z_n} \times \cos \varphi_n \] где: \[ \cos \varphi_n = \frac{R}{Z_n} \] Посчитаем для каждой гармоники: | n | \(E_n\) В | \(Z_n\) Ом | \(\cos \varphi_n\) | \(P_n = \frac{E_n^2}{Z_n} \cos \varphi_n\) Вт | |-----|------------|------------|--------------------------------------------------------------|------------------------------------------------| | 1 | 178.4 | 25.4 | \(20/25.4 \approx 0.787\) | \(\frac{178.4^2}{25.4} \times 0.787 \approx \frac{31833}{25.4} \times 0.787 \approx 1252.18 \times 0.787 \approx 987\) | | 3 | -178.4 | 51.2 | \(20/51.2 \approx 0.391\) | \(\frac{31833}{51.2} \times 0.391 \approx 622.09 \times 0.391 \approx 243\) | | 5 | 35.7 | 81.0 | \(20/81.0 \approx 0.247\) | \(\frac{1274}{81} \times 0.247 \approx 15.7 \times 0.247 \approx 3.9\) | | 7 | -25.5 | 111.7 | \(20/111.7 \approx 0.179\) | \(\frac{650}{111.7} \times 0.179 \approx 5.81 \times 0.179 \approx 1.04\) | | 9 | 19.8 | 142.8 | \(20/142.8 \approx 0.14\) | \(\frac{392}{142.8} \times 0.14 \approx 2.74 \times 0.14 \approx 0.38\) | Общая активная мощность: \[ P \approx 987 + 243 + 3.9 + 1.04 + 0.38 \approx 1238\,Вт \] --- ### Итог: - **Действующее значение тока:** \[ \boxed{ I_{ср} \approx 5.56\,А } \] - **Активная мощность:** \[ \boxed{ P \approx 1240\,Вт } \] --- Если есть необходимость, я могу дать пояснения по отдельным частям или уточнить детали!