решите уравнение: (0,1)^2х-3≤100

Рассмотрим задачу: решить неравенство \((0,1)^{2x} - 3 \leq 100\).

Шаги решения с объяснениями:

1. Упростим неравенство

Перенесем \(-3\) в правую часть: \[ (0,1)^{2x} \leq 100 + 3 \] \[ (0,1)^{2x} \leq 103 \]

2. Анализ исходного выражения

• \(0,1\) — это десятичная дробь, которая равна \(\frac{1}{10}\).
• Степень, возводящая число меньше 1, влияет на знак и величину выражения.

Обозначим:

\[ a = 0,1 = \frac{1}{10} \]

Тогда неравенство: \[ a^{2x} \leq 103 \]

3. Свойства показательной функции

Поскольку \(0 < a < 1\):

• \(a^{2x}\) — убывает при увеличении \(x\).
• Для всех \(x\), \(a^{2x} > 0\) (степень положительного числа).

4. Решение неравенства

Рассмотрим неравенство: \[ a^{2x} \leq 103 \]

Поскольку \(a^{2x} > 0\), и \(a^{2x}\) убывает при росте \(x\), то:

• Для больших \(x\), значение \(a^{2x}\) приближается к 0.
• Для очень маленьких \(x\) (отрицательных), \(a^{2x}\) может стать очень большим.

Посмотрим на пределы:

• При \(x \to +\infty\), \(a^{2x} \to 0\).
• При \(x \to -\infty\), \(a^{2x} \to +\infty\).

Поскольку \(a^{2x}\) убывает при увеличении \(x\):

• Для решения неравенства, ищем все \(x\), при которых: \[ a^{2x} \leq 103 \]

Поскольку левый — убывающая функция, чтобы неравенство выполнялось, достаточно найти границу:

\[ a^{2x} \leq 103 \]

и для этого возьмем логарифм.

5. Вводим логарифм

Запишем:

\[ a^{2x} \leq 103 \]

Логарифмируем обе части, чтобы выразить \(x\). Используем логарифм по основанию \(a\):

\[ 2x \leq \log_a 103 \]

(так как функция \(a^{y}\) убывает, при логарифмировании знак неравенства меняется, учитывая, что \(a < 1\)).

Памятка:

• Если основание логарифма меньше 1, то \(\log_a y\) — убывающая функция.

То есть:

\[ 2x \geq \log_a 103 \]

(при логарифмировании неравенства с основанием меньше 1 знак меняется, потому что логарифм по основанию меньше 1 убывает).

6. Выражаем \(x\)

Теперь делим на 2:

\[ x \geq \frac{\log_a 103}{2} \]

7. Перепишем логарифм

Используем свойство логарифмов:

\[ \log_a 103 = \frac{\ln 103}{\ln a} \]

где \(\ln\) — натуральный логарифм.

Значения:

• \(\ln a\): поскольку \(a = 0,1 = \frac{1}{10}\), то \(\ln a = \ln \frac{1}{10} = -\ln 10 \), и \(\ln 10 \approx 2,302585\), значит:

\[ \ln a = -2,302585 \]

• \(\ln 103 \approx 4,6347\)

Тогда:

\[ \log_a 103 = \frac{4,6347}{-2,302585} \approx -2,013 \]

Следовательно:

\[ x \geq \frac{-2,013}{2} \approx -1,0065 \]

8. Итоговое решение

\[ x \geq -1,0065 \]

или с точностью до трех знаков после запятой:

\[ \boxed{ x \geq -1,007 } \]

Ответ:

Все области, где \(x\) больше или равно примерно \(-1,007\), являются решениями данного неравенства.

Если нужно более точное выражение, то:

\[ x \geq \frac{\ln 103}{2 \ln (1/10)} \]

или, более явно:

\[ x \geq \frac{\ln 103}{2 \times (-\ln 10)} \]

что и дало нам приближенно значение.