Давайте разберёмся с этим заданием шаг за шагом.
Задача:
Дана множество X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Нам даны три подмножества Х1, Х2 и Х3, которые, скорее всего, являются классами разбиения множества X. Надо определить, для какого варианта данных подмножества это действительно разбиение всего множества X.
Что такое разбиение множества?
Множество X разбито на классы (подмножества) X1, X2, X3, ... если:
- Эти подмножества попарно не пересекаются (то есть их пересечения равны пустому множеству).
- Объединение всех подмножеств должно дать исходное множество X. То есть, все элементы X должны входить хотя бы в одно из этих подмножеств, и ни один элемент не должен входить более одного раза, чтобы не было пересечений.
Проверим каждый вариант
Вариант а)
X1 = {1, 3, 5, 7, 11}
X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
X3 = {9}
Пересечения:
- X1 и X2 не пересекаются, так как их элементы не совпадают.
- X1 и X3 не пересекаются.
- X2 и X3 не пересекаются.
Объединение:
{1, 3, 5, 7, 11} ∪ {2, 4, 6, 8, 10, 12} ∪ {9}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} = X
Вывод: в этом случае множество X разбито на классы без пересечений, и объединение даёт всё множество X. Значит, это разбиение.
Вариант б)
X1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
X3 = {10, 11, 12}
Пересечения:
- X1 и X2 не пересекаются (разные элементы).
- X3 и X1: {10, 11, 12} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11} = {11}
— пересечение есть!
- X3 и X2: {10, 11, 12} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12} = {10, 12}
— пересечения есть!
Вывод: наличие пересечений означает, что это не разбиение, так как элементы входят более чем в один класс. Этот вариант не подходит.
Вариант в)
X1 = {3, 6, 9, 12}
X2 = {1, 5, 7, 11}
X3 = {2, 10}
Пересечения:
- X1 и X2: пересечений нет.
- X1 и X3: пересечений нет.
- X2 и X3: пересечений нет.
Объединение:
{3, 6, 9, 12} ∪ {1, 5, 7, 11} ∪ {2, 10} = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12}
Общее количество элементов: 10, но наше исходное множество X состоит из 12 элементов: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Отсутствуют элементы 4 и 8 в данных классах.
Вывод:
Это не полное разбиение, потому что некоторых элементов из X (4 и 8) в классах нет.
Итог:
- Вариант а) — даёт полное разбиение, элементы покрыты, пересечений нет.
- Вариант б) — пересекается, не является разбиением.
- Вариант в) — не покрывает всё множество (некоторые элементы отсутствуют), не разбиение.
Ответ:
Множество X разбивается на классы только в варианте а).
Если нужно пояснение, готов дать его!
