Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили подмножества X, Х2 и Х3. В каком из следующих случаев множество X оказалось разбитым на классы: а) X1 = {1, 3, 5,…

Давайте разберёмся с этим заданием шаг за шагом.

Задача:
Дана множество X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Нам даны три подмножества Х1, Х2 и Х3, которые, скорее всего, являются классами разбиения множества X. Надо определить, для какого варианта данных подмножества это действительно разбиение всего множества X.

Что такое разбиение множества?
Множество X разбито на классы (подмножества) X1, X2, X3, ... если:

1. Эти подмножества попарно не пересекаются (то есть их пересечения равны пустому множеству).
2. Объединение всех подмножеств должно дать исходное множество X. То есть, все элементы X должны входить хотя бы в одно из этих подмножеств, и ни один элемент не должен входить более одного раза, чтобы не было пересечений.

Проверим каждый вариант

Вариант а)

X1 = {1, 3, 5, 7, 11}
X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
X3 = {9}

Пересечения:

• X1 и X2 не пересекаются, так как их элементы не совпадают.
• X1 и X3 не пересекаются.
• X2 и X3 не пересекаются.

Объединение:
{1, 3, 5, 7, 11} ∪ {2, 4, 6, 8, 10, 12} ∪ {9}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} = X

Вывод: в этом случае множество X разбито на классы без пересечений, и объединение даёт всё множество X. Значит, это разбиение.

Вариант б)

X1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
X2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
X3 = {10, 11, 12}

Пересечения:

• X1 и X2 не пересекаются (разные элементы).
• X3 и X1: {10, 11, 12} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11} = {11}
  — пересечение есть!
• X3 и X2: {10, 11, 12} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12} = {10, 12}
  — пересечения есть!

Вывод: наличие пересечений означает, что это не разбиение, так как элементы входят более чем в один класс. Этот вариант не подходит.

Вариант в)

X1 = {3, 6, 9, 12}
X2 = {1, 5, 7, 11}
X3 = {2, 10}

Пересечения:

• X1 и X2: пересечений нет.
• X1 и X3: пересечений нет.
• X2 и X3: пересечений нет.

Объединение:
{3, 6, 9, 12} ∪ {1, 5, 7, 11} ∪ {2, 10} = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12}

Общее количество элементов: 10, но наше исходное множество X состоит из 12 элементов: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Отсутствуют элементы 4 и 8 в данных классах.

Вывод:
Это не полное разбиение, потому что некоторых элементов из X (4 и 8) в классах нет.

Итог:

• Вариант а) — даёт полное разбиение, элементы покрыты, пересечений нет.
• Вариант б) — пересекается, не является разбиением.
• Вариант в) — не покрывает всё множество (некоторые элементы отсутствуют), не разбиение.

Ответ:

Множество X разбивается на классы только в варианте а).

Если нужно пояснение, готов дать его!