A²-9x²+18|x|-9=0 реши параметр

Давайте решим уравнение: \[ a^2 - 9x^2 + 18|x| - 9 = 0 \] Поскольку в уравнении присутствует абсолютное значение \(|x|\), удобнее будет рассматривать его в двух случаях: - Когда \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\). - Когда \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\). Рассмотрим оба варианта отдельно. --- ### **Случай 1: \(x \geq 0\)** Тогда уравнение выглядит так: \[ a^2 - 9x^2 + 18x - 9 = 0 \] Перенесём все члены в уравнении: \[ -9x^2 + 18x + (a^2 - 9) = 0 \] Это квадратичное уравнение относительно \(x\). Чтобы было удобнее, умножим всё уравнение на -1: \[ 9x^2 - 18x - (a^2 - 9) = 0 \] или: \[ 9x^2 - 18x + (9 - a^2) = 0 \] Обозначим: \[ A = 9 \] \[ B = -18 \] \[ C = 9 - a^2 \] Решим его через дискриминант: \[ D = B^2 - 4AC \] Вычислим дискриминант: \[ D = (-18)^2 - 4 \times 9 \times (9 - a^2) \] \[ D = 324 - 36 \times (9 - a^2) \] \[ D = 324 - 36 \times 9 + 36a^2 \] \[ D = 324 - 324 + 36a^2 \] \[ D = 36a^2 \] Так как дискриминант неотрицателен для любого \(a\), то решения есть всегда. Найденные корни: \[ x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{36a^2}}{18} \] \[ \sqrt{36a^2} = 6|a| \] Поэтому: \[ x = \frac{18 \pm 6|a|}{18} \] Упростим: \[ x = \frac{18 \pm 6|a|}{18} = 1 \pm \frac{|a|}{3} \] Поскольку мы рассматривали случай \(x \geq 0\), то решения должны удовлетворять неравенству: \[ x \geq 0 \] Обратим внимание на оба варианта: 1. \(x = 1 + \frac{|a|}{3}\) — это \( \geq 0 \), так как \(a\) может быть любым, и \ \(1 + \frac{|a|}{3} \geq 0\) всегда. 2. \(x = 1 - \frac{|a|}{3}\) — это тоже неотрицательное при условии: \[ 1 - \frac{|a|}{3} \geq 0 \implies |a| \leq 3 \] Итак, в случае \(x \geq 0\): - Если \(|a| \leq 3\), то оба корня подходят: \[ x_1 = 1 + \frac{|a|}{3} \] и \[ x_2 = 1 - \frac{|a|}{3} \] - Если \(|a| > 3\), то только первый корень подходит, так как второй станет отрицательным и не удовлетворяет условию \(x \geq 0\). --- ### **Случай 2: \(x < 0\)** Здесь \(|x| = -x\). Уравнение: \[ a^2 - 9x^2 + 18(-x) - 9 = 0 \] \[ a^2 - 9x^2 - 18x - 9 = 0 \] Перенесём всё в левую часть: \[ -9x^2 - 18x + (a^2 - 9) = 0 \] Умножим всё на -1: \[ 9x^2 + 18x - (a^2 - 9) = 0 \] Обозначим: \[ A = 9 \] \[ B = 18 \] \[ C = -(a^2 - 9) = 9 - a^2 \] Дискриминант: \[ D = 18^2 - 4 \times 9 \times (9 - a^2) \] \[ D = 324 - 36 \times (9 - a^2) \] \[ D = 324 - 36 \times 9 + 36a^2 \] \[ D = 324 - 324 + 36a^2 \] \[ D = 36a^2 \] Решения: \[ x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-18 \pm 6|a|}{18} \] Итак: \[ x = \frac{-18 \pm 6|a|}{18} = -1 \pm \frac{|a|}{3} \] Но так как рассматриваем случай \(x < 0\), то нужно выбрать только те корни, которые меньше нуля: - \( x = -1 + \frac{|a|}{3} \). Это отрицательное значение при условии: \[ -1 + \frac{|a|}{3} < 0 \implies \frac{|a|}{3} < 1 \implies |a| < 3 \] - \( x = -1 - \frac{|a|}{3} \) — всегда меньше нуля (поскольку \( -1 - \) что-то положительное — отрицательное). Итог: - При \( |a| < 3 \), оба корня подходят в данном случае: \[ x_3 = -1 + \frac{|a|}{3} \quad (\text{при } |a| < 3) \] \[ x_4 = -1 - \frac{|a|}{3} \] - При \( |a| \geq 3 \), только \( x = -1 - \frac{|a|}{3} \) подходит. --- ### **Общий вывод:** \[ \boxed{ \begin{aligned} \text{Если } |a| \leq 3:\quad & \text{на стороне } x \geq 0:\quad & x = 1 + \frac{|a|}{3} \quad \text{и} \quad x = 1 - \frac{|a|}{3} \\ & \text{на стороне } x < 0:\quad & x = -1 + \frac{|a|}{3} \quad \text{и} \quad x = -1 - \frac{|a|}{3} \\ \\ \text{Если } |a| > 3:\quad & \text{на стороне } x \geq 0:\quad & x = 1 + \frac{|a|}{3} \\ & \text{на стороне } x < 0:\quad & x = -1 - \frac{|a|}{3} \\ \end{aligned} } \] Здесь необходимо учитывать, что для каждого конкретного значения \(a\) проверяйте, какие из найденных решений удовлетворяют исходным условиям (\(x \geq 0\) или \(x<0\)). --- Если нужно ещё что-то пояснить или проверить конкретные значения, скажите!